【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸、y軸分別交于點A(﹣1,0)、B(3,0)、點C三點.

(1)試求拋物線的解析式;
(2)點D(2,m)在第一象限的拋物線上,連接BC、BD.試問,在對稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點P,滿足∠PBC=∠DBC?如果存在,請求出點P點的坐標;如果不存在,請說明理由;
(3)如圖2,在(2)的條件下,將△BOC沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移,記平移后的三角形為△B′O′C′.在平移過程中,△B′O′C′與△BCD重疊的面積記為S,設(shè)平移的時間為t秒,試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式?

【答案】
(1)

解:將A(﹣1,0)、B(3,0)代入拋物線y=ax2+bx+3(a≠0),

,

解得:a=﹣1,b=2.

故拋物線解析式為:y=﹣x2+2x+3.


(2)

解:存在

將點D代入拋物線解析式得:m=3,

∴D(2,3),

令x=0,y=3,

∴C(0,3),

∴OC=OB,

∴∠OCB=∠CBO=45°,

如下圖,

在y軸上取點G,使GC=CD=2,

在△CDB與△CGB中

∵BC=BC、∠DCB=∠BCO、GC=DC(SAS)

∴△CDB≌△CGB,

∴∠PBC=∠DBC,

∵點G(0,1),

設(shè)直線BP:y=kx+1,

代入點B(3,0),

∴k=﹣

∴直線BP:y=﹣ x+1,

聯(lián)立直線BP和二次函數(shù)解析式:

,

解得: (舍),

∴P(﹣ , ).


(3)

解:直線BC:y=﹣x+3,直線BD:y=﹣3x+9,

當0≤t≤2時,如下圖:

設(shè)直線C′B′:y=﹣(x﹣t)+3

聯(lián)立直線BD求得F( , ),

S=SBCD﹣SCCE﹣SCDF

= ×2×3﹣ ×t×t﹣ ×(2﹣t)(3﹣

整理得:S=﹣ t2+3t(0≤t≤2).

當2<t≤3時,如下圖:

H(t,﹣3t+9),I(t,﹣t+3)

S=SHIB= [(﹣3t+9)﹣(﹣t+3)]×(3﹣t)

整理得:S=t2﹣6t+9(2<t≤3)

綜上所述:S=


【解析】(1)將點A、B代入拋物線解析式,求出a、b值即可得到拋物線解析式;(2)根據(jù)已知求出點D的坐標,在y軸上取點G,使GC=CD=2,只要證明證明△CDB≌△CGB,可知∠PBC=∠DBC,寫出直線BP解析式,聯(lián)立二次函數(shù)解析式,求出點P坐標;(3)分兩種情況,第一種情況重疊部分為四邊形,利用大三角形減去兩個小三角形求得解析式,第二種情況重疊部分為三角形,可利用三角形面積公式求得.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小.

練習冊系列答案
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(1)將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整;
(2)若一天中手機使用時間超過6小時,則患有嚴重的“手機癮”.我校初三年級共有1490人,試估計我校初三年級中約有多少人患有嚴重的“手機癮”;
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