Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y=2x﹣1，與y軸交于點(diǎn)A，與直線y=﹣x交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．

（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q，當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2-x-1；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為（1-，1-）或（1+，1+）.

【解析】試題分析：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用。

（1）由兩直線解析式求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由題意B、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱求出C坐標(biāo)，再由y=2x-1與y軸交于點(diǎn)A，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)解析式。

（2）①先由點(diǎn)P在拋物線上，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)。根據(jù)菱形的性質(zhì)可知對(duì)角線垂直，則可得PQ所在直線的解析式，把點(diǎn)P代入該直線解析式可得點(diǎn)P的坐標(biāo)。

解：（1）聯(lián)立兩直線解析式可得，解得 ，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1），
又C點(diǎn)為B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），
∵直線y=-2x-1與y軸交于點(diǎn)A，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，
∴拋物線解析式為y=x2-x-1；

（2）當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，則PQ⊥BC，
∵直線BC解析式為y=-x，
∴直線PQ解析式為y=x，
聯(lián)立拋物線解析式可得，解得或 ，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1-，1-）或（1+，1+）.