Question

在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=120°，取一把含30°角三角板，把30°角的頂點(diǎn)放在邊BC的中點(diǎn)P處，三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖1，當(dāng)三角板的兩邊分別交邊AB、AC于點(diǎn)E、F，連接EF，請(qǐng)說明△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖2情形時(shí)，三角板的兩邊分別交CA的延長(zhǎng)線、邊AB于點(diǎn)F、E，連接EF．
①探究1：△BPE與△CFP相似嗎？請(qǐng)說明理由；
②探究2：△BPE與△PFE相似嗎？請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)AE=x，EF=y，求y與x的函數(shù)分析式，并寫出自變x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）已知∠B=∠C，要證△BPE∽△CFP，只需證到∠BEP=∠FPC即可．
（2）借鑒（1）中的解題經(jīng)驗(yàn)即可證到△BPE∽△CFP，從而可得

BE

CP

=

PE

FP

，由BP=CP可得

BE

BP

=

PE

FP

，再由∠B=∠EPF=30°就可得到△BPE∽△PFE．
（3）連接AP，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，由△BPE∽△PFE（已證）可得BE•FE=PE²，其中BE=8-x，F(xiàn)E=y，只需在Rt△PDE中運(yùn)用勾股定理用x的代數(shù)式表示出PE²，就可解決問題．

解答：解：（1）證明：如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．

（2）①△BPE∽△CFP．
證明：如圖2，

∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠EPC=∠B+∠BEP=∠EPF+∠FPC，∠B=∠EPF=30°，
∴∠BEP=∠FPC，
∴△BPE∽△CFP．
②△BPE∽△PFE．
證明：∵△BPE∽△CFP，
∴

BE

CP

=

PE

FP

．
∵BP=CP，
∴

BE

BP

=

PE

FP

．
∵∠B=∠EPF=30°，
∴△BPE∽△PFE．

（3）連接AP，過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，如圖3，

∵AB=AC，P為BC中點(diǎn)，
∴AP⊥BC．
∵∠B=30°，
∴AP=

1

2

AB=4，
∴BP=

AB2-AP2

=4

3

．
∴PD=

1

2

BP=2

3

，
∴BD=

BP2-PD2

=6，
∴DE=|BD-BE|=|6-（8-x）|=|x-2|，
∴PE²=PD²+DE²=（2

3

）²+（x-2）²=x²-4x+16．
∵△BPE∽△PFE（已證），
∴

BE

PE

=

PE

FE

，
∴BE•FE=PE²，
∴（8-x）•y=x²-4x+16
∴y=

x2-4x+16

8-x

（0≤x＜8）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，由△BPE∽△PFE得到BE•FE=PE²是解決第（3）小題的關(guān)鍵．