Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF．
（1）試說(shuō)明：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,勾股定理

專題：

分析：（1）首先連接AD，由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜邊的中線，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，從而可證：△AED≌△CFD，所以可得：AE=CF，AF=BC，即可得出答案；
（2）根據(jù)勾股定理求出EF，解直角三角形求出DE和DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可．

解答：解：（1）解：連接AD，
∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD為BC邊的中線，
∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，
又∵DE⊥DF，AD⊥DC，
∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，
∴∠EDA=∠CDF，
在△AED與△CFD中，

∠EDA=∠CDF AD=CD ∠EAD=∠C

，
∴△AED≌△CFD（ASA）．
∴AE=CF，
同理AF=BE．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=DE²+DF²，
∴BE²+CF²=EF²；

（2）∵AE=CF=5，AF=BE=12，
由勾股定理得：EF=13，
∵DE=DF，
∴△DEF為等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=169，
∴DE=DF=

13 2

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×

13 2

2

×

13 2

2

=

169

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，無(wú)法證明三角形全等．