Question

如圖，等邊△ABC內有一點P，若點P到頂點A，B，C的距離分別為3，4，5，則∠APB=

 

度．（提示：如圖將△ABP繞頂點A旋轉到△ACP′）．

Answer 1

考點：旋轉的性質,等邊三角形的判定與性質,勾股定理的逆定理

專題：計算題

分析：先根據等邊三角形的性質得AB=AC，∠BAC=60°，于是可將△ABP繞頂點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，如圖，連結PP′，根據旋轉的性質得AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，則可判斷△APP′為等邊三角形，得到∠PP′A=60°，PP′=AP=3，接著利用勾股定理的逆定理證明△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，然后利用∠APB=∠∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C進行計算即可．

解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∴將△ABP繞頂點A逆時針旋轉60°得到△ACP′，如圖，連結PP′，
∴AP=AP′=3，∠PAP′=60°，P′C=PB=4，∠APB=∠AP′C，
∴△APP′為等邊三角形，
∴∠PP′A=60°，PP′=AP=3，
在△PP′C中，∵PP′=3，P′C=4，PC=5，
∴PP′²+P′C²=PC²，
∴△PP′C為直角三角形，∠PP′C=90°，
∴∠AP′C=∠PP′A+∠PP′C=60°+90°=150°．
∴∠APB=150°．
故答案為150．

點評：本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理．