Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作AC的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BC交AD于點(diǎn)F．
（1）猜想ED與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）若AB=6，AD=5，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：ED與⊙O的位置關(guān)系是相切．理由如下：

連接OD，

∵∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，

∴ = ，

∴OD⊥BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

即BC⊥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE∥BC，

∴OD⊥DE，

∴ED與⊙O的位置關(guān)系是相切

（2）解：連接BD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

在直角△ABD中，BD= = = ，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

又∵∠AFC=∠BFD，

∴∠FBD=∠CAD=∠BAD

∴△FBD∽△BAD，

∴ =

∴FD=

∴AF=AD﹣FD=5﹣ = ．

【解析】（1）連接OD，根據(jù)∠CAB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，則 = ，依據(jù)垂徑定理可以得到：OD⊥BC，然后根據(jù)直徑的定義，可以得到OD∥AE，從而證得：DE⊥OD，則DE是圓的切線；（2）首先證明△FBD∽△BAD，依據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求DF的長(zhǎng)，繼而求得答案．