Question

【題目】問(wèn)題提出 平面內(nèi)不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面，那么平面內(nèi)的四點(diǎn)（任意三點(diǎn)均不在同一直線上），能否在同一個(gè)面上呢？
初步思考
設(shè)不在同一條直線上的三點(diǎn)A、B、C確定的圓為⊙O．
（1）當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)時(shí)．
如圖①，若點(diǎn)D在⊙O上，此時(shí)有∠ACB=∠ADB，理由是 ．
如圖②，若點(diǎn)D在⊙O內(nèi)，此時(shí)有∠ACB∠ADB；
如圖③，若點(diǎn)D在⊙O外，此時(shí)有∠ACB∠ADB（填“=”、“＞”、“＜”）
由上面的探究，請(qǐng)直接寫(xiě)出A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件： ．
類比學(xué)習(xí)
（2）仿照上面的探究思路，請(qǐng)?zhí)骄浚寒?dāng)C、D在線段AB的異側(cè)時(shí)的情形．
由上面的探究，請(qǐng)用文字語(yǔ)言直接寫(xiě)出A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上的條件： ．
拓展延伸
（3）如何過(guò)圓上一點(diǎn)，僅用沒(méi)有刻度的直尺，作出已知直徑的垂線？ 已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，求作：CN⊥AB
作法：①連接CA、CB
②在CB上任取異于B、C的一點(diǎn)D，連接DA，DB；
③DA與CB相交于E點(diǎn)，延長(zhǎng)AC、BD，交于F點(diǎn)；
④連接F、E并延長(zhǎng)，交直徑AB與M；
⑤連接D、M并延長(zhǎng)，交⊙O于N，連接CN，則CN⊥AB．
請(qǐng)安上述作法在圖④中作圖，并說(shuō)明CN⊥AB的理由．（提示：可以利用（2）中的結(jié)論）

Answer 1

【答案】
（1）同弧所對(duì)的圓周角相等；＜；＞；當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)且∠ACB=∠ADB時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
（2）當(dāng)C、D在線段AB的異側(cè)且∠ACB+∠ADB=180°時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上
（3）解：圖⑦即為所求作．

∵AB是⊙0的直徑，

∴∠ACB=∠ADB=90°，即BC⊥AF，AD⊥BF，

∴根據(jù)三角形的三條高交于同一點(diǎn)可得：FM⊥AB．

∴∠EMB=90°．

∴∠EMB+∠EDB=180°．

∴由（2）中的結(jié)論可得：點(diǎn)E、D、B、M在同一個(gè)圓上，如圖⑦所示．

∴∠EMD=∠EBD．

∵∠CND=∠CBD，

∴∠CND=∠EMD．

∴CN∥EM．

∴∠CHB=∠EMB．

∵∠EMB=90°，

∴∠CHB=90°，即CN⊥AB．

【解析】解：（1）①如圖①，根據(jù)“同弧所對(duì)的圓周角相等”得∠ACB=∠ADB． ②如圖②，延長(zhǎng)BD交⊙O于點(diǎn)E，
∵∠AEB=∠ACB，∠AEB＜∠ADB
∴∠ACB＜∠ADB．
③如圖③，連接AF，
∵∠AFB=∠ACB，∠AFB＞∠ADB
∴∠ACB＞∠ADB．
所以答案是：同弧所對(duì)的圓周角相等、＜、＞、
當(dāng)C、D在線段AB的同側(cè)且∠ACB=∠ADB時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．
2）①如圖④，
∵ 與 的度數(shù)之和等于360°，
且∠ADB的度數(shù)等于 度數(shù)的一半，
∠ACB的度數(shù)等于 度數(shù)的一半，
∴∠ACB+∠ADB=180°．
②如圖⑤，延長(zhǎng)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
∵∠ACB+∠AEB=180°，∠AEB＜∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＞180°．
③如圖⑥，連接BF，
∵∠ACB+∠AFB=180°，∠AFB＞∠ADB，
∴∠ACB+∠ADB＜180°．
所以答案是：∠ACB+∠ADB=180°、∠ACB+∠ADB＞180°、∠ACB+∠ADB＜180°．
當(dāng)C、D在線段AB的異側(cè)且∠ACB+∠ADB=180°時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上．


【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)和三角形的外角，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角即可以解答此題．