【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線行經(jīng)過點和點,交軸正半軸于點,連接,點是線段上動點(不與點重合),以為邊在軸上方作正方形,接,將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段,過點作軸,交拋物線于點,設點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若與相似求的值;
(3)當時,求點的坐標.
【答案】(1)y=-x2+3x+4;(2)a=或;(3)點P的坐標為(1,4)或(2,4)或(,4)
【解析】
(1)點C(0,4),則c=4,二次函數(shù)表達式為:y=-x2+bx+4,將點A的坐標代入上式,即可求解;
(2)△AOC與△FEB相似,則∠FBE=∠ACO或∠CAO,即:tan∠FEB=或4,即可求解;
(3)證明△PNF≌△BEF(AAS),PH=2,則-4a2+6a+4-4=|2|,即可求解.
解:(1)將點A和點C的坐標代入上式得:0=-1-b+4,
解得:b=3,
故拋物線的表達式為:y=-x2+3x+4;
(2)∵tan∠ACO==,
△AOC與△FEB相似,則∠FBE=∠ACO或∠CAO,
∴tan∠FBE=或4,
∵四邊形OEFG為正方形,則FE=OE=a,EB=4-a,
則或,
解得:a=或;
(3)令y=-x2+3x+4=0,解得:x=4或-1,故點B(4,0);
分別延長GF、HP交于點N,
∵∠PFN+∠BFN=90°,∠FPN+∠PFN=90°,
∴∠FPN=∠NFB,
∵GN∥x軸,∴∠FPN=∠NFB=∠FBE,
∵∠PNF=∠BEF=90°,FP=FB,
∴△PNF≌△BEF(AAS),
∴FN=FE=a,PN=EB=4-a,
∴點P(2a,4),點H(2a,-4a2+6a+4),
∵PH=2,
即:-4a2+6a+4-4=±2,
解得:a=1或或或(舍去),
故:點P的坐標為(1,4)或(2,4)或(,4).
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【題目】如圖,點A、B分別在y軸和x軸正半軸上滑動,且保持線段AB=4,點D坐標為(4,3),點A關(guān)于點D的對稱點為點C,連接BC,則BC的最小值為_____.
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【題目】某商場甲、乙、丙三名業(yè)務員2018年前5個月的銷售額(單位:萬元)如下表:
(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù),將下表補充完整:
(2)甲、乙、丙三名業(yè)務員都說自己的銷售業(yè)績好,你贊同誰的說法?請說明理由.
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【題目】如圖,直線與軸、y軸分別交于A、B兩點,把△AOB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△AO′B′,則點B'的坐標是( )
A. (4, ) B. (,4) C. (,3) D. (, )
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【題目】如圖,邊長為6的正方形中,分別是上的點,,為垂足.
(1)如圖①, AF=BF,AE=2,點T是射線PF上的一個動點,則當△ABT為直角三角形時,求AT的長;
(2)如圖②,若,連接,求證:.
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【題目】己知:如圖1,⊙O的半徑為2, BC是⊙O的弦,點A是⊙O上的一動點。
圖1 圖2
(1)當△ABC的面積最大時,請用尺規(guī)作圖確定點A位置(尺規(guī)作圖只保留作圖痕跡, 不需要寫作法);
(2)如圖2,在滿足(1)條件下,連接AO并延長交⊙O于點D,連接BD并延長交AC 的延長線于點E,若∠BAC=45° ,求AC2+CE2的值.
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【題目】某學校藝術(shù)節(jié)計劃為學生購買A、B兩種獎品,已知購買40件A種獎品和購買60件B種獎品共需2600元,購買35件A種獎品和購買70件B種獎品共需2800元.
(1)求A、B兩種獎品的單價各為多少元?
(2)若學校購買A、B兩種獎品共100件,且購買這批獎品的總費用不超過2800元,求最多購買B獎品多少件?
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,F是⊙O上一點,∠BAF的平分線交⊙O于點E,交⊙O的切線BC于點C,過點E作ED⊥AF,交AF的延長線于點D.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若點G 為AE上一點,求OG+EG最小值.
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【題目】如圖,有一張矩形紙片,長15cm,寬9cm,在它的四角各剪去一個同樣的小正方形,然折疊成一個無蓋的長方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是48cm2,求剪去的小正方形的邊長.設剪去的小正方形邊長是xcm,根據(jù)題意可列方程為_____.
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