Question

【題目】如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC= ．對角線AC，BD相交于點O，將直線AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點E，F(xiàn)．

（1）證明：當旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；
（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：當∠AOF=90°時，

∵∠BAO=∠AOF=90°，

∴AB∥EF，

又∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF為平行四邊形

（2）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

在△AOF和△COE中

．

∴△AOF≌△COE（ASA）．

∴AF=EC

（3）解：四邊形BEDF可以是菱形．

理由：如圖，連接BF，DE

由（2）知△AOF≌△COE，得OE=OF，

∴EF與BD互相平分．

∴當EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形．

在Rt△ABC中，AC= = =2，

∴OA=1=AB，

又∵AB⊥AC，

∴∠AOB=45°，

∴∠AOF=45°，

∴AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°時，四邊形BEDF為菱形．

【解析】（1）當旋轉(zhuǎn)角為90°時，∠AOF=90°，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可證明四邊形ABEF為平行四邊形；（2）證明△AOF≌△COE即可；（3）EF⊥BD時，四邊形BEDF為菱形，可根據(jù)勾股定理求得AC=2，∴OA=1=AB，又AB⊥AC，∴∠AOB=45°．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行四邊形的判定與性質(zhì)和菱形的判定方法的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形．