Question

頂點在B點的拋物線y=ax²+bx+c交x軸于點A（3，0），D（-1，0），交y軸于點E（0，3），連接AB、AE、BE．
（1）已知tan∠BAE=

1

3

，求拋物線的表達式及頂點B的坐標．
（2）若點P在x軸上，且以O(shè)、E、P為頂點的三角形與△ABE相似，求出點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）如圖1，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），由E（0，3）在拋物線上，代入解析式就可以求出結(jié)論，再將解析式化為頂點式就可以求出B的坐標．
（2）根據(jù)A、E、B的坐標，由兩點間的距離公式及勾股定理的逆定理就可以求出△ABE為直角三角形，如圖2，當△AEB∽△POE時，如圖3，當△AEB∽△POE時，如圖4，當△AEB∽△EOP時，如圖5，當△AEB∽△EOP時，由相似三角形的性質(zhì)分別其求出其值即可．

解答：解：（1）如圖1，

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），由題意，得
3=a（0-3）（0+1），
解得：a=-1，
∴y=-（x-3）（x+1），
∴y=-x²+2x+3
∴y=-（x-1）²+4，
∴拋物線的定點坐標為：（1，4）．
∴B（1，4）．
答：拋物線的表達式為：y=-x²+2x+3，頂點B的坐標為（1，4）；
（2）∵B（1，4），A（3，0），E（0，3），
∴AB²=（1-3）²+（4-0）²=20，AE²=（3-0）²+（0-3）²=18，BE²=（1-0）²+（4-3）²=2，
∴AE²+BE²=18+2=20．
∴AE²+BE²=AB²，
∴△AEB是直角三角形．
∵tan∠BAE=

1

3

，
∴

BE

AE

=

1

3

．
∵E（0，3），
∴OE=3．
如圖2，

當△AEB∽△POE時
∴

BE

AE

=

OE

OP

，
∴

3

OP

=

1

3

，
∴OP=9，
∴P（-9，0）；
如圖3，

當△AEB∽△POE時，
∴

BE

AE

=

OE

OP

，
∴

3

OP

=

1

3

，
∴OP=9，
∴P（9，0）；
如圖4，

當△AEB∽△EOP時，
∴

BE

AE

=

OP

OE

，
∴

0P

3

=

1

3

，
∴OP=1，
∴P（-1，0）；
如圖5，

當△AEB∽△EOP時，
∴

BE

AE

=

OP

OE

，
∴

0P

3

=

1

3

，
∴OP=1，
∴P（1，0）；
綜上所述：P（-9，0），P（9，0），P（-1，0）或P（1，0）．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運用，拋物線的性質(zhì)的運用，直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，相似三角形的性質(zhì)的運用，解答時運用函數(shù)的解析式及相似三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．