【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的邊OA=4,OC=3,且頂點A、C均在坐標(biāo)軸上,動點M從點A出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿AO向終點O移動;點N從點C出發(fā)沿CB向終點B以同樣的速度移動,當(dāng)兩個動點運動了x秒(0<x<4)時,過點N作NPBC交BO于點P,連接MP.

(1)直接寫出點B的坐標(biāo),并求出點P的坐標(biāo)(用含x的式子表示);

(2)設(shè)OMP的面積為S,求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式;若存在最大值,求出S的最大值;

(3)在兩個動點運動的過程中,是否存在某一時刻,使OMP是等腰三角形?若存在,求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)B(4,3).P(x, x);(2)S=x2+x(0<x<4), 最大值為;(3)存在,x的值為秒或秒或秒.

【解析】

試題分析:(1)根據(jù)矩形OABC中OA=4,OC=3以及矩形的性質(zhì),得出B點坐標(biāo),再由PGAB,得出OPG∽△OBA,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得出P點坐標(biāo);(2)利用PG以及OM的長表示出OMP的面積,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可;(3)OMP是等腰三角形時,分三種情況:PO=PM;OP=OM;OM=PM.畫出圖形,分別求出即可.

試題解析:(1)矩形OABC中,OA=4,OC=3,B點坐標(biāo)為(4,3).如圖,延長NP,交OA于點G,則PGAB,OG=CN=x.PGAB,∴△OPG∽△OBA,,即=,解得:PG=x,點P的坐標(biāo)為(x, x);(2)OMP中,OM=4x,OM邊上的高為x,S=(4x)x=x2+x,S與x之間的函數(shù)表達(dá)式為S=x2+x(0<x<4).配方,得S=(x2)2+,當(dāng)x=2時,S有最大值,最大值為;(3)存在某一時刻,使OMP是等腰三角形.理由如下:如備用圖1,過點P作PGAO于點G,若PO=PM,則OG=GM=CN=x,即3x=4,解得:x=如備用圖2,過點P作PGAO于點G,若OP=OM,CN=x,則OP= OM= 4x,由勾股定理,得OB===5,NPOC,,即,OP=x,即x=4x,解得:x=;如備用圖3,過點P作PQOA,垂足為Q,若OM=PM時,則PM=OM=4x,OQ=CN=x,則MQ=x-(4-x)=2x4,在RtMPQ中,PQ2+QM2=MP2,即(x)2+(2x4)2=(4x)2,解得:x=,綜上所述,當(dāng)x的值為秒或秒或秒時,OMP是等腰三角形.

練習(xí)冊系列答案
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(2)求這部分男生抽測數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);

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