【題目】某種電纜在空中架設(shè)時(shí),兩端掛起的電纜下垂都近似成拋物線的形狀,現(xiàn)按操作要求,電纜最低點(diǎn)離水平地面不得小于6米.

(1)如圖1,若水平距離間隔80米建造一個(gè)電纜塔柱,求此電纜塔柱用于固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有多少米的高度?

(2)如圖2,若在一個(gè)坡度為1:5的斜坡上,按水平距離間隔50米架設(shè)兩固定電纜的位置離地面高度為20米的塔柱.

求這種情況下在豎直方向上,下垂的電纜與斜坡的最近距離為多少米?

這種情況下,直接寫出下垂的電纜與地面的最近距離為多少米?

【答案】(1) 22米;(2)13.48米;②17.75米.

【解析】

(1)因?yàn)樗骄嚯x間隔80米,說明最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)為40,代入y=,求出高度,加上6即可;

(2)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DC方向?yàn)?/span>x軸正方向建立坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的解析式為y=x2+bx+c,把A(0,20),B(50,30)代入,可求出拋物線的解析式。根據(jù)D(0,0)、E(50,10)求出直線DE的解析式,設(shè)一條與x軸垂直的直線x=m與拋物線交于M,與斜坡交于G,求出表示MG距離的解析式的最小值,再作MHDEH,根據(jù)MGHDEC以及坡度1:5,即可求出下垂的電纜與斜坡的最近距離MH的長,根據(jù)拋物線解析式的最值即可求出下垂電纜與地面的最近距離.

(1)y=×402=16,

16+6=22米;

固定電纜的位置離地面至少應(yīng)有22米的高度.

(2)如圖,D為坐標(biāo)原點(diǎn),DC方向?yàn)?/span>x軸正方向建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)此時(shí)拋物線解析式為y=x2+bx+c,

易知:A(0,20),B(50,30),代入解析式可求得b=-,c=20.

∴y=x2x+20,

易求得斜坡所在直線的解析式為:y=x,

設(shè)一條與x軸垂直的直線x=m與拋物線交于M,與斜坡交于G.

則:MG=m2m+20﹣m=(m﹣25)2+13.75,

∴當(dāng)m=25時(shí),MG的最小值為13.75.作MH⊥DEH.

MH=13.75÷×5=13.48(米),

即在豎直方向上,下垂的電纜與斜坡的最近距離為13.48米,

②∵y=x2x+20=(x-15)2+17.75,

∴下垂的電纜與地面的最近距離為17.75米.

故答案為:(1) 22米;(2)13.48米;②17.75米.

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