【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(0,2),△AOB為等邊三角形,Px軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與原點(diǎn)O重合),以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形APQ

(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).

(2)在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,∠ABQ的大小是否發(fā)生改變?若不改變,求出其大;若改變,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)連接OQ,當(dāng)OQAB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1) 點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,1)(2)ABQ的大小始終不變,∠ABQ90°;(3) P的坐標(biāo)為(-0)

【解析】

(1)過(guò)點(diǎn)BBCx軸于點(diǎn)C,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB60°,BOOA2,從而求出∠BOC30°,然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出BCOC,從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo);

2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得APAQAOAB,∠PAQ=∠OAB60°,從而證出∠PAO=∠QAB,然后利用SAS證出△APO≌△AQB,從而得出∠ABQ=∠AOP90°;

3)根據(jù)題意,畫出圖形,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BQO90°,∠BOQ=∠ABO60°,從而求出∠OBQ=30°,然后根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理即可求出OQBQ,再根據(jù)(2)中全等可得OP=BQ,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解:(1)如圖①,過(guò)點(diǎn)BBCx軸于點(diǎn)C

∵△AOB為等邊三角形,且OA2,

∴∠AOB60°,BOOA2

∴∠BOC30°

又∵∠OCB90°

BCOB1,OC

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1)

(2)ABQ的大小始終不變.

∵△APQ,△AOB均為等邊三角形,

APAQ,AOAB,∠PAQ=∠OAB60°

∴∠PAO=∠QAB

△APO△AQB中,

∴△APO≌△AQB(SAS)

∴∠ABQ=∠AOP90°

(3)如圖②,當(dāng)OQAB時(shí),點(diǎn)Px軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方,

ABOQ,

∴∠BQO180°-∠ABQ90°,∠BOQ=∠ABO60°

∴∠OBQ30°

OBOA2,

OQOB1,BQ,

(2)可知,△APO≌△AQB,

OPBQ

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,0)

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1)以O為旋轉(zhuǎn)中心,將ABC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫出旋轉(zhuǎn)后的A1B1C1

2)畫出A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的A2B2C2;

3)若ABC內(nèi)有一點(diǎn)Pab),結(jié)果上面兩次變換后點(diǎn)PA2B2C2中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P′,則點(diǎn)P′的坐標(biāo)為   

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1)甲登山上升的速度是每分鐘   米,乙在A地時(shí)距地面的高度b   米;

2)若乙提速后,乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍,請(qǐng)求出乙登山全程中,距地面的高度y(米)與登山時(shí)間x(分)之間的函數(shù)關(guān)系式;

3)登山多長(zhǎng)時(shí)間時(shí),甲、乙兩人距地面的高度差為70米?

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1)求點(diǎn)的坐標(biāo);

2)若,求的值;

3)在(2)的條件下,是線段上一點(diǎn),軸于,交,若,求點(diǎn)的坐標(biāo)。

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組別

正確字?jǐn)?shù)x

人數(shù)

A

0x8

10

B

8x16

15

C

16x24

25

D

24x32

m

E

32x40

n

根據(jù)以上信息完成下列問(wèn)題:

1)統(tǒng)計(jì)表中的m  ,n  ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C組”所對(duì)應(yīng)的圓心角的度數(shù)是  ;

3)已知該校共有900名學(xué)生,如果聽(tīng)寫正確的字的個(gè)數(shù)少于24個(gè)定為不合格,請(qǐng)你估計(jì)該校本次聽(tīng)寫比賽不合格的學(xué)生人數(shù).

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1)求為何值時(shí),為等腰三角形?

2)是否存在某一時(shí)刻,使點(diǎn)在線段的垂直平分線上?

3)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,是否存在某時(shí)刻, 直線的周長(zhǎng)分為兩部分?若存在,求出,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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