【題目】在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(點E不與點C、D重合),連結(jié)BE.
(感知)如圖①,過點A作AF⊥BE交BC于點F.易證△ABF≌△BCE.(不需要證明)
(探究)如圖②,取BE的中點M,過點M作FG⊥BE交BC于點F,交AD于點G.
(1)求證:BE=FG.
(2)連結(jié)CM,若CM=1,則FG的長為 .
(應(yīng)用)如圖③,取BE的中點M,連結(jié)CM.過點C作CG⊥BE交AD于點G,連結(jié)EG、MG.若CM=3,則四邊形GMCE的面積為 .
【答案】(1)證明見解析;(2)2,9.
【解析】感知:利用同角的余角相等判斷出∠BAF=∠CBE,即可得出結(jié)論;
探究:(1)判斷出PG=BC,同感知的方法判斷出△PGF≌CBE,即可得出結(jié)論;
(2)利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半,
應(yīng)用:借助感知得出結(jié)論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結(jié)論.
感知:∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠BCE=∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠CBE=90°,
∵AF⊥BE,
∴∠ABE+∠BAF=90°,
∴∠BAF=∠CBE,
在△ABF和△BCE中,
,
∴△ABF≌△BCE(ASA);
探究:(1)如圖②,
過點G作GP⊥BC于P,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,
∴四邊形ABPG是矩形,
∴PG=AB,∴PG=BC,
同感知的方法得,∠PGF=∠CBE,
在△PGF和△CBE中,
,
∴△PGF≌△CBE(ASA),
∴BE=FG;
(2)由(1)知,FG=BE,
連接CM,
∵∠BCE=90°,點M是BE的中點,
∴BE=2CM=2,
∴FG=2,
故答案為:2.
應(yīng)用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,
∴ME=3,
同探究(1)得,CG=BE=6,
∵BE⊥CG,
∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9,
故答案為:9.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是直線AE上的一點,OC是∠AOD的平分線,∠BOD=∠AOD.
(1)若∠BOD=20°,求∠BOC的度數(shù);
(2)若∠BOC=n°,用含有n的代數(shù)式表示∠EOD的大。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與x軸、y軸分別交于點A(3,0)、B(0,4),點D在y軸的負半軸上,若將△DAB沿直線AD折疊,點B恰好落在x軸正半軸上的點C處.
(1)求直線AB的表達式;
(2)求點C和點D的坐標(biāo);
(3)y軸的正半軸上是否存在一點P,使得S△PAB=S△OCD?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了加強公民的節(jié)水意識,合理利用水資源,某市采用價格調(diào)控的手段達到節(jié)水的目的,該市自來水收貴的價目表如下(注:水費按月份結(jié)算,表示立方米)
價目表 | |
每月用水量 | 價格 |
不超過的部分 | |
超出不超出的部分 | |
超出的部分 |
某戶居民1月份和2月份的用水量分別為和,則應(yīng)收水費分別是 元和 元
若該戶居民月份用水量(其中),則應(yīng)收水費多少元? (用含的式子表示,并化簡)
若該戶居民兩個月共用水 (月份用水量超過月份),設(shè)月份用水,求該戶居民兩個月共交水費多少元? (用含 的式子表示,并化簡)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點,其中有一點是原點,并且這四個整數(shù)點每相鄰兩點之間的距離為1個單位長度.?dāng)?shù)對應(yīng)的點在與之間,數(shù)對應(yīng)的點在與之間.若,則原點是( )
A.或B.與C.與D.與
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【題目】如圖,點D、E分別是等邊三角形ABC的邊BC、AC上的點,連接AD、BE交于點O,且△ABD≌△BCE.
(1)若AB=3,AE=2,則BD= ;
(2)若∠CBE=15°,則∠AOE= ;
(3)若∠BAD=a,猜想∠AOE的度數(shù),并說明理由.
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【題目】如圖,已知正方形DEFG的頂點D、E在△ABC的邊BC上,頂點G、F分別在邊AB、AC上.如果BC=4,△ABC的面積是6,那么這個正方形的邊長是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(端點除外),點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的運動速度相同,連接AQ、CP交于點M.
(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)當(dāng)點P、Q分別在AB、BC邊上運動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動,直線AQ、CP交點為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).
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