Question

【題目】綜合：
（1）在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF=60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系． 小亮同學(xué)認(rèn)為：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．請你按照小亮的思路寫出推理過程．

（2）如圖2，已知正方形ABCD，△AEF是正方形ABCD的內(nèi)接等邊三角形，請你找出S△ABE、S△ADF、S△CEF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS），

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△GAF中，

，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=FG，

∵FG=DG+DF=BE+DF，

∴EF=BE+DF．

（2）解：S△CEF=S△ABE+S△ADF，理由如下：

如圖，延長EB至G，使得BG=DF，連接AC，交EF于H，過E作EP⊥AG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABG=∠D，

在△ABG和△ADF中，

，

∴△ABG≌△ADF（SAS），

∴BE=DF，∠DAF=∠BAG，AG=AF，

∴CE=CF，

又∵AE=AF，

∴AC垂直平分EF，且△CEF是等腰直角三角形，

設(shè)EF=2，則EH=CH=1，AE=AG=2，

∴S△CEF= EF×CH=1，

∵∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣60°=30°，

∴PE= AE=1，

∴S△AGE= AG×PE=1，

∴S△CEF=S△AGE，

即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF．

【解析】（1）延長FD到點G，使DG=BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．（2）延長EB至G，使得BG=DF，連接AC，交EF于H，過E作EP⊥AG，構(gòu)造全等三角形，再求得S△CEF= EF×CH=1，S△AGE= AG×PE=1，即可得到S△CEF=S△AGE，即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF．
【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形．