Question

我們知道，任何一個三角形的三條內(nèi)角平分線相交于一點，如圖，若△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點I，過I作DE⊥AI分別交AB、AC于點D、E．
（1）若∠BAC=70°，∠BIC的度數(shù)為

 

．
（2）根據(jù)（1）的解題經(jīng)驗你發(fā)現(xiàn)了∠BIC與哪些角相等，請寫出來，并說明其中的道理．
（3）圖中與∠EIC相等的角有

 

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Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求出∠IBC+∠ICB，然后在△BCI中利用三角形的內(nèi)角和定理列式計算即可得解；
（2）用∠A表示出∠BIC，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠BDI和∠CEI即可判斷；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠BIC+∠EIC=∠BDI+∠DBI，即可得到∠EIC=∠DBI，再根據(jù)角平分線的定義可得∠DBI=∠IBC．

解答：解：（1）由三角形的內(nèi)角和定理，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵△ABC的三條內(nèi)角平分線相交于點I，
∴∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A），
在△BCI中，∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A，
∵∠BAC=70°，
∴∠BIC=90°+

1

2

×70°=125°；

（2）∵DE⊥AI，
∴∠AID=∠AIE=90°，
∵AI平分∠BAC，
∴∠DAI=∠EAI=

1

2

∠A，
∴∠BDI=90°+

1

2

∠A，∠CEI=90°+

1

2

∠A，
∴與∠BIC相等的角有∠BDI、∠CEI；

（3）由三角形的外角性質(zhì)得，∠BIC+∠EIC=∠BDI+∠DBI，
∵∠BIC=∠BDI，
∴∠EIC=∠DBI，
∵BI平分∠ABC，
∴∠DBI=∠IBC，
∴與∠EIC相等的角有∠DBI、∠IBC．
故答案為：（1）125°；（3）∠DBI、∠IBC．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并綜合運用，準確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．