Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM=

5

，∠MAN=135°，
（1）求證：△ADN∽△MBA；
（2）求四邊形AMCN的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）運用正方形對解線及三角形外角性質(zhì)得出對應(yīng)角相等，得出△ADN∽△MBA；
（2）連AO，可得出OA，OB及MB的長，再運用△ADN∽△MBA得出DN的長，利用三角形面積公式求出四邊形AMCN的面積．

解答：（1）證明：∵∠ABM=∠NDA=135°，
∴∠NAD=∠MAN-∠DAB-∠MAB=135°-90°-∠MAB=45°-∠MAB，
∵∠AMB=45°-∠MAB，
∴∠NAD=∠AMB
∵∠ADN=∠ABM=135°，
∴△ADN∽△MBA
（2）解：設(shè)正方形ABCD的中心為O，連AO，則
AO⊥BD，AO=OB=

2

2

，MO=

AM2-AO2

=

( 5 )2-( 2 2 )2

=

3 2

2

，
∴MB=MO-OB=

2

．
∵△ADN∽△MBA
∴

AD

MB

=

DN

BA

，
∴DN=

AD

MB

•BA=

1

2

×1=

2

2

．
根據(jù)對稱性可知，四邊形AMCN的面積S=2S△MAN=2×

1

2

×MN×AO=2×

1

2

×(

2

2

+

2

+

2

)×

2

2

=

5

2

．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是運用三角形相似求出DN的長度．