Question

已知AB為⊙O的直徑，

AD

=

DC

，DE⊥AB于E，AC交DE于F．
（1）求證：AF=DF．
（2）若AB=10，AC=6，求AF長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),垂徑定理,圓周角定理

專題：

分析：（1）連接BD，利用直角三角形求出∠ADE=∠ABD，再利用

AD

=

DC

，得出∠DAF=∠ABD，∠DAF=∠ADE，即可得出結(jié)論AF=DF．
（2）連接OD，可得OD⊥AC，由已知得出AM，OM的長，由△DEO≌△AMO得出OE的長，即可得到AE的長，由△AEF∽△AMO，利用比例式求出AF的長．

解答：（1）證明：如圖1，連接BD，

∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADE+∠DAB=90°，∠DAE+∠ABD=90°，
∴∠ADE=∠ABD，
∵弧AD=弧DC，
∴∠DAF=∠ABD，
∵∠ABD=∠C，
∴∠DAF=∠ADE，
∴AF=DF；
（2）解：如圖2，連接OD，交AC于點M，

∵

AD

=

DC

，
∴OD⊥AC，
∵AB=10，AC=6，
∴AM=3，OM=

AO2-AM2

=

52-32

=4，
在△DEO和△AMO中，

∠DEO=∠AMO ∠DOE=∠AOM OD=OE

，
∴△DEO≌△AMO（AAS）
∴OE=OM=4，
∴AE=5-4=1，
∵∠DEA=∠OMA=90°，
∴△AEF∽△AMO，
∴

AE

AM

=

AF

AO

，即

1

3

=

AF

5

，
∴AF=

5

3

．

點評：本題考查了圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力，注意：在同圓中，等弧所對的圓周角相等，題目比較好，但是有一定的難度．