Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，AC＝15，點D在AC上（可與點A，C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F，則AE+CF的最大值為_____，最小值為_____．

Answer 1

【答案】15 12

【解析】

設(shè)AE＝m，CF＝n，則m+n＝y，用m、n及x表示出△ABD及△CBD的面積，根據(jù)S△ABC＝S△ABD+S△CBD即可得到m+n關(guān)于x的反比例函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當BD⊥AC時，x最小，由面積公式可求得；因為AB＝13，BC＝14，所以當BD＝BC＝14時，x最大．從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值和最小值.

設(shè)BD＝x，AE+CF＝y，AE＝m，CF＝n，則m+n＝y，

∵由三角形面積公式，得，，

∴，

∴，即．

∵△ABC中AC邊上的高為，

∴x的取值范圍為．

∵m+n隨x的增大而減小，

∴當時，y的最大值為15，當x＝14時，y的最小值為12．

故答案為：15，12．