Question

如圖，在正方形ABCD 中，點(diǎn)F是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥DF于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，連接CE．
（1）若正方形ABCD邊長(zhǎng)為3，DF=4，求CG的長(zhǎng)；
（2）求證：EF+EG=

2

CE．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CBG=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△CBG和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BG=DF，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；
（2）過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)C作CM⊥CE交BE于點(diǎn)M，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CG=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠F=∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG=∠ECF，然后利用“角邊角”證明△MCG和△ECF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MG=EF，CM=CE，從而判斷出△CME是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCG=∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F，
∴∠CBG=∠CDF，
在△CBG和△CDF中，

∠BCG=∠DCF=90° BC=CD ∠CBG=∠CDF

，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG=DF=4，
∴在Rt△BCG中，CG²+BC²=BG²，
∴CG=

42-32

=

7

；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥CE交BE于點(diǎn)M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG=CF，∠F=∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE=∠ECF+∠DCE=90°，
∴∠MCG=∠ECF，
在△MCG和△ECF中，

∠MCG=∠ECF CG=CF ∠F=∠CGB

，
∴△MCG≌△ECF（SAS），
∴MG=EF，CM=CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME=

2

CE，
又∵M(jìn)E=MG+EG=EF+EG，
∴EF+EG=

2

CE．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）根據(jù)

2

CE考慮作出以CE為直角邊的等腰直角三角形．