Question

如圖，分別以邊長2為的等邊三角形ABC的頂點為圓心，以其邊長為半徑作三個等圓，得交點D、E、F，連接CF交⊙C于點G，以點E為圓心，EG長為半徑畫弧，交邊AB于點M，交邊BC于點N，連接MN，求MN的長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：壓軸題

分析：如圖，過點E作EP⊥AB，連接EA、EC，易得△EAC為正三角形，△ABC為正三角形；由正三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)求得△ECG為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理、圓的半徑的性質(zhì)推知EM=EG=2

2

；
然后在直角△EPA和直角△EPM中由勾股定理、線段間的和差關(guān)系求得AM、BM的長度；最后根據(jù)M，N關(guān)于BE對稱的特點以及平行線的判定可以證得△BMN為等邊三角形，從而得知NM=3-

5

．

解答：解：如圖，過點E作EP⊥AB，連接EA、EC、EM．
∵在⊙C中，EC=AC；在⊙A中，AE=AC，
∴EC=AC=AE，
∴△EAC為正三角形；
同理證得△ABC為正三角形，則∠ECA=∠CAB=60°，
∴EC∥AB，
又∵由相交兩圓的性質(zhì)得：CG⊥AB，
∴EC⊥CG，
∴EM=EG=

22+22

=2

2

，
∵∠EAP=60°，
∴EP=

3

，AP=1，PM=

EM2-EP2

=

5

，
∴AM=PM-AP=

5

-1，
∴BM=AB-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；
又由對稱性可知M，N關(guān)于BE對稱，BN=BM=3-

5

且MN∥AC，
∴△BMN為等邊三角形，即NM=3-

5

．

點評：本題考查了圓的綜合題．此題涉及到的知識點有：勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及線段間的和差關(guān)系．