【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點D,DE交AC于點E,且∠A=∠ADE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)15.
【解析】
(1)先連接OD,根據(jù)圓周角定理求出∠ADB=90°,根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出DE=BE,推出∠EDB=∠EBD,∠ODB=∠OBD,即可求出∠ODE=90°,根據(jù)切線的判定推出即可.
(2)首先證明AC=2DE=20,在Rt△ADC中,DC=12,設(shè)BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2-202,可得x2+122=(x+16)2-202,解方程即可解決問題.
(1)證明:連結(jié)OD,∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
又∵OD=OB,
∴∠B=∠BDO,
∵∠ADE=∠A,
∴∠ADE+∠BDO=90°,
∴∠ODE=90°.
∴DE是⊙O的切線;
(2)連結(jié)CD,∵∠ADE=∠A,
∴AE=DE.
∵BC是⊙O的直徑,∠ACB=90°.
∴EC是⊙O的切線.
∴DE=EC.
∴AE=EC,
又∵DE=10,
∴AC=2DE=20,
在Rt△ADC中,DC=
設(shè)BD=x,在Rt△BDC中,BC2=x2+122,
在Rt△ABC中,BC2=(x+16)2﹣202,
∴x2+122=(x+16)2﹣202,解得x=9,
∴BC=.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是梯形,且AB = OC = 4,CB∥OA,OA = 7,∠COA = 60°,點P為x軸上的—個動點,點P不與點0、點A重合.連結(jié)CP,過點P作PD交AB于點D,
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)點P運動什么位置時,使得∠CPD =∠OAB,且,求這時點P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點P運動什么位置時,△OCP為等腰三角形,直接寫出這時點P的坐標(biāo)。
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【題目】如圖,為線段上一動點(不與點,重合),在同側(cè)分別作正三角形和等邊三角形,與交于點,與交于點,與交于點,以下結(jié)論一定正確的有( )個
①;②;③;④;⑤
A.2個B.3個C.4個D.5個
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【題目】某工程隊承包了某標(biāo)段全長1800米的過江隧道施工任務(wù),甲、乙兩個班組分別從東、西兩端同時掘進.已知甲組比乙組平均每天多掘進2米,經(jīng)過5天施工,兩組共掘進了60米.
(1)求甲、乙兩班組平均每天各掘進多少米?
(2)為加快工程進度,通過改進施工技術(shù),在剩余的工程中,甲組平均每天能比原來多掘進2米,乙組平均每天能比原來多掘進1米.按此施工進度,能夠比原來少用多少天完成任務(wù)?
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【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點C,E是⊙O上的一點,且∠BEC=45°.
(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BE=8cm,sin∠BCE= ,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,是的兩條高線,且它們相交于是邊的中點,連結(jié),與相交于點,已知.
(1)求證BF=AC.
(2)若BE平分.
①求證:DF=DG.
②若AC=8,求BG的長.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,點P、Q分別在邊BC、AC上,PQ∥AB,把△PCQ繞點P旋轉(zhuǎn)得到△PDE(點C、Q分別與點D、E對應(yīng)),點D落在線段PQ上,若AD平分∠BAC,則CP的長為_________.
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【題目】全面兩孩政策實施后,甲,乙兩個家庭有了各自的規(guī)劃.假定生男生女的概率相同,回答下列問題:
(1)甲家庭已有一個男孩,準(zhǔn)備再生一個孩子,則第二個孩子是女孩的概率是 ;
(2)乙家庭沒有孩子,準(zhǔn)備生兩個孩子,求至少有一個孩子是女孩的概率.
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【題目】如圖,一座鋼結(jié)構(gòu)橋梁的框架是△ABC,水平橫梁BC長18米,中柱AD高6米,其中D是BC的中點,且AD⊥BC.
(1)求sinB的值;
(2)現(xiàn)需要加裝支架DE、EF,其中點E在AB上,BE=2AE,且EF⊥BC,垂足為點F,求支架DE的長.
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