Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于點F，交BP于點G，E在CD的延長線上，EP=EG，

（1）求證：直線EP為⊙O的切線；

（2）點P在劣弧AC上運動，其他條件不變，若BG2=BFBO．試證明BG=PG；

（3）在滿足（2）的條件下，已知⊙O的半徑為3，sinB=．求弦CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4．

【解析】試題分析：（1）證明：連結(jié)OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直線EP為⊙O的切線；

（2）證明：如圖，連結(jié)OG，OP，∵BG2=BFBO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂徑定理知：BG=PG；

（3）解：如圖，連結(jié)AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==，∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中， CF2=BFFA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．