【題目】已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點C與點E重合),點B、C(E)、F在同一條直線上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm.如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動,在△DEF移動的同時,點P從△ABC的頂點B出發(fā),以2cm/s的速度沿BA勻速移動,當(dāng)△DEF的頂點D移動到AC邊上時,△DEF停止移動,點P也隨之停止移動,DE與AC相交于點Q,連接PQ,設(shè)移動時間為t(s)(0<t<4.5).
解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,點A在線段PQ的垂直平分線上?
(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式,是否存在某一時刻t,使面積y最?若存在,求出y的最小值;若不存在,說明理由;
(3)是否存在某一時刻t,使P、Q、F三點在同一條直線上?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)2s;(2)存在,cm2;(3)存在,t=1s
【解析】試題分析:
(1)由已知條件先證△ECQ中,CQ=EC=t,由此可得AQ=8-t,由勾股定理可得AB=10,由此可得AP=AB-BP=10-2t,若點A在PQ的垂直平分線上,則有AP=AQ,由此可得關(guān)于t的方程,解此方程即可得到所求的t的值;
(2)如圖1,過點P作PM⊥BE,交BE于M,由sinB==,可得,由此可得PM=,再由S四邊形APEC=S△ABC-S△APE即可用含t的式子表達出四邊形APEC的面積了,再將所得表達式配方,即可求得當(dāng)t為何值時,四邊形ABEC的面積最小了;
(3)如圖2,假設(shè)在某一時刻,點P、F、Q在同一直線上,此時,過點P作PN⊥AC于點N,則易得△PAN∽△BAC,由此可得,即,則可得PN=6﹣t ,AN=8﹣t,這樣即可得到NQ=8﹣t﹣(8﹣)=,再證△QCF∽△QNP從而可得,即 ,由此即可解得所求的t的值了.
試題解析:
(1)∵點A在線段PQ的垂直平分線上,
∴AP=AQ;
∵∠DEF=45°,∠ACB=90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC=180°,
∴∠EQC=45°;
∴∠DEF=∠EQC;
∴CE=CQ;
由題意知:CE=t,BP=2t,
∴CQ=t;
∴AQ=8﹣t;
在Rt△ABC中,由勾股定理得:AB=10cm;
則AP=10﹣2t;
∴10﹣2t=8﹣t;
解得:t=2;
答:當(dāng)t=2s時,點A在線段PQ的垂直平分線上;
(2)如下圖1,過P作PM⊥BE,交BE于M,
∴∠BMP=90°;
在Rt△ABC和Rt△BPM中,sinB==,
∴,
∴PM=,
∵BC=6cm,CE=t,
∴BE=6﹣t,
∴y=S△ABC﹣S△BPE
=BCAC﹣BEPM
=×6×8﹣(6﹣t)×
=
=,
∵,
∴拋物線開口向上;
∴當(dāng)t=3時,y最小=;
答:當(dāng)t=3s時,四邊形APEC的面積最小,最小面積為cm2.
(3)假設(shè)存在某一時刻t,使點P、Q、F三點在同一條直線上;
如圖2,過P作PN⊥AC,交AC于N
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°;
∵∠PAN=∠BAC,
∴△PAN∽△BAC,
∴,
∴,
∴PN=6﹣t ,AN=8﹣t,
∵NQ=AQ﹣AN,
∴NQ=8﹣t﹣(8﹣)=,
∵∠ACB=90°,B、C、E、F在同一條直線上,
∴∠QCF=90°,∠QCF=∠PNQ;
∵∠FQC=∠PQN,
∴△QCF∽△QNP;
∴,即 ;
∵0<t<4.5,
∴ ,
解得:t=1;
答:當(dāng)t=1s,點P、Q、F三點在同一條直線上.
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【題目】定義一種關(guān)于整數(shù)n的“F”運算:
(1)當(dāng)n是奇數(shù)時,結(jié)果為;
(2)當(dāng)n是偶數(shù)時,結(jié)果是(其中是使是奇數(shù)的正整數(shù)),并且運算重復(fù)進行.
例如:取,第一次經(jīng)F運算是29,第二次經(jīng)F運算是92,第三次經(jīng)F運算是23,第四次經(jīng)F運算是74…;若,則第2019次運算結(jié)果是________
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【題目】在同一條直線上有A、B、C、D、四點(A、B、C三點依次從左到右排列),已知AD=AB,AC=4CB,且CD=10cm,求AB的長。
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【題目】在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)求作:∠A的平分線AD,AD交BC于點D;(保留作圖痕跡,不寫作法)
(2)若點D恰好在線段AB的垂直平分線上,求∠A的度數(shù).
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【題目】某市出租車計費方式如圖所示,請根據(jù)圖象回答問題.
(1)出租車起價是多少元?在多少千米之內(nèi)只收起價費?
(2)由圖象求出起價里程走完之后每行駛1千米所增加的費用;
(3)小張想用30元坐車在該市游玩,試求他最多能走多少千米.
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【題目】如圖,ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=22.5°,將ABC 繞著點C順時針旋轉(zhuǎn),使得點A的對應(yīng)點D落在邊BC上,點B的對應(yīng)點是點E,連接BE.下列說法中,正確的有( )
①DE⊥AB ②∠BCE是旋轉(zhuǎn)角 ③∠BED=30° ④BDE與CDE面積之比是:1
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
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【題目】如圖,在長方形ABCD中,AB=6,BC=8,點O在對角線AC上,且OA=OB=OC,點P是邊CD上的一個動點,連接OP,過點O作OQ⊥OP,交BC于點Q.
(1)求OB的長度;
(2)設(shè)DP= x,CQ= y,求y與x的函數(shù)表達式(不要求寫自變量的取值范圍);
(3)若OCQ是等腰三角形,求CQ的長度.
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【題目】材料一:如圖1,由課本91頁例2畫函數(shù)y=﹣6x與y=﹣6x+5可知,直線y=﹣6x+5可以由直線y=﹣6x向上平移5個單位長度得到由此我們得到正確的結(jié)論一:在直線L1:y=K1x+b1與直線L2:y=K2x+b2中,如果K1=K2 且b1≠b2 ,那么L1∥L2,反過來,也成立.
材料二:如圖2,由課本92頁例3畫函數(shù)y=2x﹣1與y=﹣0.5x+1可知,利用所學(xué)知識一定能證出這兩條直線是互相垂直的.由此我們得到正確的結(jié)論二:在直線L1:y=k1x+b1 與L2:y=k2x+b2 中,如果k1·k2=-1那么L1⊥L2,反過來,也成立
應(yīng)用舉例
已知直線y=﹣x+5與直線y=kx+2互相垂直,則﹣k=﹣1.所以k=6
解決問題
(1)請寫出一條直線解析式______,使它與直線y=x﹣3平行.
(2)如圖3,點A坐標(biāo)為(﹣1,0),點P是直線y=﹣3x+2上一動點,當(dāng)點P運動到何位置時,線段PA的長度最?并求出此時點P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一張長方形紙片,().將這張紙片沿著過點的折痕翻折,使點落在邊上的點,折痕交于點,將折疊后的紙片再次沿著另一條過點的折痕翻折,點恰好與點重合,此時折痕交于點.
(1)在圖中確定點、點和點的位置;
(2)聯(lián)結(jié),則______;
(3)用含有的代數(shù)式表示線段的長.(注:直角三角形中,兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方)
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