【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D,E是BC上的兩點,且∠DAE=30°,將△AEC繞點A順時針旋轉120°后,得到△AFB,連接DF.下列結論中正確的個數(shù)有( 。
①∠FBD=60°;②△ABE∽△DCA;③AE平分∠CAD;④△AFD是等腰直角三角形.
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】
根據(jù)旋轉的性質得出∠ABF=∠C,求出∠ABC=∠C=30°,即可判斷①;根據(jù)三角形外角性質求出∠ADC=∠BAE,根據(jù)相似三角形的判定即可判斷②;求出∠EAC大于30°,而∠DAE=30°,即可判斷③;求出△AFD是直角三角形,但是不能推出是等腰三角形,即可判斷④.
解:∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠ABC=∠C=30°,
∵將△AEC繞點A順時針旋轉120°后,得到△AFB,
∴△AEC≌△AFB,
∴∠ABF=∠C=30°,
∴∠FBD=30°+30°=60°,∴①正確;
∵∠ABC=∠DAE=30°,
∴∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠BAD,
即∠ADC=∠BAE,
∵∠ABC=∠C,
∴△ABE∽△DCA,∴②正確;
∵∠C=∠ABC=∠DAE=30°,∠BAC=120°,
∴∠BAD+∠EAC=120°∠DAE=90°,
∴∠ABC+∠BAD<90°,
∴∠ADC<90°,
∴∠DAC>60°,
∴∠EAC>30°,
即∠DAE≠∠EAC,∴③錯誤;
∵將△AEC繞點A順時針旋轉120°后,得到△AFB,
∴AF=AE,∠EAC=∠BAF,
∵∠BAC=120°,∠DAE=30°,
∴∠BAD+∠EAC=90°,
∴∠DAB+∠BAF=90°,
即△AFD是直角三角形,
∵在△DAE中,∠ADE=∠ABC+∠BAD,∠AED=∠C+∠EAC,∠ABC=∠C,但是根據(jù)已知不能推出∠BAD=∠EAC,
∴∠ADE和∠AED不相等,
∴AD和AE不相等,
即△AFD是直角三角形,但是不一定是等腰三角形,∴④錯誤;
故選:B.
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【題目】我們知道:選用同一長度單位量得兩條線段、的長度分別是,,那么就說兩條線段的比:
,如果把表示成比值,那么,或.請完成以下問題:
四條線段,,,中,如果________,那么這四條線段,,,叫做成比例線段.
已知,那么________,________
如果,那么成立嗎?請用兩種方法說明其中的理由.
如果,求的值.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=,BE=.求CD的長和四邊形ABCD的面積.
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【題目】如圖,正方形ABCD中,E為CD的中點,AE的垂直平分線分別交AD,BC及AB的延長線于點F,G,H,連接HE,HC,OD,連接CO并延長交AD于點M.則下列結論中:
①FG=2AO;②OD∥HE;③;④2OE2=AHDE;⑤GO+BH=HC
正確結論的個數(shù)有( 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,點M是邊BC上的一點(不與B、C重合),點N在CD邊的延長線上,且滿足∠MAN=90°,聯(lián)結MN、AC,N與邊AD交于點E.
(1)求證:AM=AN;
(2)如果∠CAD=2∠NAD,求證:AM2=ACAE.
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【題目】如圖,□ABCD的對角線交于點O,點E在邊BC的延長線上,且OE=OB,連接DE.
(1)求證:△BDE是直角三角形;
(2)如果OE⊥CD,試判斷△BDE與△DCE是否相似,并說明理由.
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【題目】如圖,△ABC是邊長為4的等邊三角形,點D是線段BC的中點,∠EDF=120°,把
∠EDF繞點D旋轉,使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F.
(1)當DF⊥AC時,求證:BE=CF;
(2)在旋轉過程中,BE+CF是否為定值?若是,求出這個定值;若不是,請說明理由;
(3)在旋轉過程中,連接EF,設BE=x,△DEF的面積為S,求S與x之間的函數(shù)解析式,并求S的最小值.
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【題目】某中學為了提高學生的消防意識,舉行了消防知識競賽,所有參賽學生分別設有一、二、三等獎和紀念獎,獲獎情況已繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,根據(jù)圖中所經(jīng)信息解答下列問題:
(1)這次知識競賽共有多少名學生?
(2)“二等獎”對應的扇形圓心角度數(shù),并將條形統(tǒng)計圖補充完整;
(3)小華參加了此次的知識競賽,請你幫他求出獲得“一等獎或二等獎”的概率.
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【題目】閱讀下列材料并回答問題:
材料1:如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,記,那么三角形的面積為. ①
古希臘幾何學家海倫(Heron,約公元50年),在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞名.他在《度量》一書中,給出了公式①和它的證明,這一公式稱海倫公式.
我國南宋數(shù)學家秦九韶(約1202﹣﹣約1261),曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式:. ②
下面我們對公式②進行變形:
.
這說明海倫公式與秦九韶公式實質上是同一公式,所以我們也稱①為海倫﹣﹣秦九韶公式.
問題:如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O內切于△ABC,切點分別是D、E、F.
(1)求△ABC的面積;
(2)求⊙O的半徑.
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