Question

【題目】如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的一半，則稱這樣的方程為“半等分根方程”．

（1）①方程 半等分根方程（填“是”或“不是”）；

②若是半等分根方程，則代數(shù)式 ；

（2）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是半等分根方程嗎？并說明理由；

（3）如果方程是半等分根方程，且相異兩點(diǎn)，都在拋物線上，試說明方程的一個(gè)根為．

Answer 1

【答案】（1）①不是；②0；（2）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是半等分根方程，理由詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）①解方程，根據(jù)“半等分根方程”定義作出判斷即可；②解方程得，，所以或，即：n=-2m或m=-2n，分別代入代數(shù)式結(jié)果均為0

（2）根據(jù)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，得到，代入，得到關(guān)于x的方程，解方程，用含p的式子表示x，根據(jù)“半等分根方程”定義判斷即可；

（3）根據(jù)兩點(diǎn)，都在拋物線上，且縱坐標(biāo)相等，可以求出對稱軸為，根據(jù)方程是半等分根方程，得到兩根關(guān)系，根據(jù)拋物線對稱軸為

，即可求出兩個(gè)根，問題得證．

解：（1）①解方程得，不符合“半等分根方程”定義，

故答案為：不是；

②解方程得，，所以或，即：n=-2m或m=-2n，

當(dāng)n=-2m時(shí)，；

當(dāng)m=-2n時(shí)，；

故答案為：0；

（2）若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則關(guān)于的方程是半等分根方程

理由：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上

∴代入方程得：

解得：，

∵

∴方程是半等分根方程

（3）∵相異兩點(diǎn)，都在拋物線上，

∴拋物線的對稱軸為：

又∵方程是半等分根方程

∴設(shè)的兩個(gè)根分別為和

令則有：

所以，

所以方程的一個(gè)根為得證．