Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AB的中點．
（1）求證：AD=BD=CD；
（2）如圖M，N分別是AC，BC邊上的動點，∠MDN=90°，求證：BN=CM．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)斜邊中線性質(zhì)即可解題；
（2）連接CD，可證∠MDC=∠BDN，即可證明△MCD≌△NBD即可解題．

解答：解：（1）∵D是AB的中點，
∴CD是RT△ACB的中線，
∴CD=

1

2

AB，
∵AD=BD，
∴AD=BD=CD；
（2）連接CD，

∵AC=BC，
∴∠B=45°，
∵D是AB中點，且AC=BC，
∴CD=AD，CD⊥AB
∴∠ACD=45°，
∵∠MDC+∠CDN=90°，∠BDN+∠CDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN，
在△MCD和△NBD中，

∠MDC=∠BDN CD=BD ∠ACD=∠B

，
∴△MCD≌△NBD（ASA），
∴CM=BN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△MCD≌△NBD是解題的關鍵．