Question

如圖，拋物線經(jīng)過A，C，D三點(diǎn)，且三點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1，0），C（0，5），D（2，5），拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，作平行四邊形DFBG，
（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
（2）是否存在F點(diǎn)，使得四邊形DFBG為矩形？如存在，求出F點(diǎn)坐標(biāo)；如不存在，說明理由；
（3）連結(jié)FG，F(xiàn)G的長度是否存在最小值？如存在求出最小值，若不存在說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C、D的縱坐標(biāo)相等求出拋物線的對(duì)稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可；
（2）連接CD，然后求出△CDF和△OFB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OF，然后寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可；
（3）連接BD，設(shè)FG、BD相交于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得FG=2FH，再求出點(diǎn)H的坐標(biāo)，再根據(jù)垂線段最短可得FH⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最短，從而求出FH，再求出FG即可．

解答：解：（1）∵C（0，5），D（2，5），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=

2+0

2

=1，
∵A（-1，0），
∴2×1-（-1）=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
故答案為：（3，0）；

（2）如圖，連接CD，則∠DCF=90°，
∵四邊形DFBG為矩形，
∴∠DFC+∠OFB=180°-90°=90°，
∴∠DFB=90°
∵∠OFB+∠OBF=90°，
∴∠DFC=∠OBF，
又∵∠DCF=∠FOB=90°，
∴△CDF∽△OFB，
∴

CD

OF

=

CF

OB

，
∵B（3，0），C（0，5），D（2，5），
∴CD=2，OB=3，OC=5，
∴CF=5-OF，
∴

2

OF

=

5-OF

3

，
整理得，OF²-5OF+6=0，
解得OF=2或OF=3，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，2）或（0，3）；

（3）連接BD，設(shè)FG、BD相交于點(diǎn)H，
∵四邊形DFBG是平行四邊形，
∴FG、BD互相平分，
∴FG=2FH，
又∵B（3，0），D（2，5），
∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（2.5，2.5），
根據(jù)垂線段最短，F(xiàn)H⊥y軸時(shí)，F(xiàn)H最短，
此時(shí)，F(xiàn)H=2.5，
FG=2FH=2×2.5=5．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)的對(duì)稱性，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．