Question

如圖，已知函數(shù)y=

1

2

x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，已知點(diǎn)A（4，0）和點(diǎn)C（0，2）．
（1）求該拋物線的對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)及OB的長；
（2）若點(diǎn)E（x，y）是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且位于第四 象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形．
①若平行四邊形OEAF的面積為S，試求S與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
②當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)為

 

時(shí)，四邊形OEAF為菱形（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先把A（4，0）、C（0，2）代入y=

1

2

x²+bx+c，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再利用配方法求得對稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)對稱性求出B點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到OB的長；
（2）①根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出平行四邊形OEAF的面積等于2S_△OAE，得出S=2×

1

2

×OA×（-y），代入即可求出S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)A、B的坐標(biāo)即可求出x的取值范圍；
②當(dāng)EF與OA互相垂直平分時(shí)，四邊形OEAF為菱形，根據(jù)EF是線段OA的垂直平分線可知點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與線段OA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是2，再將x=2代入拋物線的解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

5

2

x+2，求出y的值，即可得到點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）A（4，0）、C（0，2）代入y=

1

2

x²+bx+c得：

8+4b+c=0 c=2

，
解得：

b=- 5 2 c=2

，
∴拋物線的解析式是y=

1

2

x²-

5

2

x+2．
∵y=

1

2

x²-

5

2

x+2=

1

2

（x²-5x+

25

4

）-

25

8

+2=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

，
∴對稱軸為直線x=

5

2

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，-

9

8

）．
∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A（4，0），對稱軸為直線x=

5

2

，
∴點(diǎn)B（1，0），OB=1；

（2）①∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對角線的平行四邊形，
∴平行四邊形OEAF的面積等于2S_△OAE，
即S=2×

1

2

×OA×（-y），
∴S=2×

1

2

×4×（

1

2

x²-

5

2

x+2）=2x²-10x+8，
∵A（4，0），B（1，0），
∴x的范圍是1＜x＜4，
即S與x之間的函數(shù)解析式為S=2x²-10x+8，自變量x的取值范圍是1＜x＜4；

②當(dāng)EF與OA互相垂直平分時(shí)，四邊形OEAF為菱形，此時(shí)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與線段OA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同．
∵A（4，0），O（0，0），
∴線段OA中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

4+0

2

=2，
將x=2代入y=

1

2

x²-

5

2

x+2，得y=

1

2

×2²-

5

2

×2+2=-1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，-1）．
故答案為（2，-1）．

點(diǎn)評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與函數(shù)思想的應(yīng)用．