【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(-3,0),B(1,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式;
(2)點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使△ACP的面積最大?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)題為三選一的選做題,即只能選做其中一個(gè)題目,多答時(shí)只按作答的首題評(píng)分,切記。
(3)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(4)點(diǎn)Q是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE垂直于x軸,垂足為E.是否存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(5)點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),在x軸上是否存在點(diǎn)Q,使以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1);(2)存在,;(3)存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1);(4)存在,Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)或;(5)存在點(diǎn)Q,使以A. C.M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:.
【解析】
(1)將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入即可求得a、b,從而得到二次函數(shù)的關(guān)系解析式.
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),則.連接PO,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N,根據(jù)求出S關(guān)于m的二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)最值求法即可求解.
(3)如圖(3)所示,以BC為邊,在線段BC兩側(cè)分別作正方形,正方形的其他四個(gè)頂點(diǎn)均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”,因此有四個(gè)點(diǎn)符合題意要求;
(4)如圖(4)所示,若以點(diǎn)B、Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,有兩種情況,需要分類討論,不要漏解;
(5)以A、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,有四種情況,分別如圖(5)a、圖(5)b所示,注意不要漏解.
解:(1)由拋物線過A(-3,0),B(1,0),則
,解得.
∴二次函數(shù)的關(guān)系解析式為.
(2)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n),則.
連接PO,作PM⊥x軸于M,PN⊥y軸于N.
PM =,,AO=3.
當(dāng)時(shí),,所以OC=2.
∵<0,∴函數(shù)有最大值,當(dāng)時(shí),有最大值.
此時(shí).
∴存在點(diǎn),使△ACP的面積最大.
(3)如圖(3)所示,以BC為邊在兩側(cè)作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,則點(diǎn)Q1,Q2,Q3,Q4為符合題意要求的點(diǎn).
過Q1點(diǎn)作Q1D⊥y軸于點(diǎn)D,
∵∠BCQ1=90°,
∴∠Q1CD+∠OCB=90°,
又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°,
∴∠Q1CD=∠OCB,
又∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC,
∴△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3);
同理求得Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).
∴存在點(diǎn)Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).
(4)如圖(4)所示,設(shè)E(n,0),則BE=1n, .
假設(shè)以點(diǎn)B.Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似,則有兩種情況:
①若△AOC∽△BEQ,則有:,
即,化簡(jiǎn)得:n2+n2=0,
解得n1=2,n2=1(與B重合,舍去),
∴n=2, .
∴Q(2,2);
②若△AOC∽△BQE,則有:,
即,化簡(jiǎn)得:4n2n3=0,
解得 (與B重合,舍去),
∴.
綜上所述,存在點(diǎn)Q,使以點(diǎn)B.Q、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似.
Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)或.
(5)假設(shè)存在點(diǎn)Q,使以A. C.M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.
①若CM平行于x軸,如圖(5)a所示,有符合要求的兩個(gè)點(diǎn)Q1,Q2,此時(shí)Q1A=Q2A=CM.
∵CM∥x軸,∴點(diǎn)M、點(diǎn)C(0,2)關(guān)于對(duì)稱軸x=1對(duì)稱,
∴M(2,2),
∴CM=2.
由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(5,0),Q2(1,0);
②若CM不平行于x軸,如圖(5)b所示.過點(diǎn)M作MG⊥x軸于G,
易證△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=2.
設(shè)M(x,2),則有,
解得
又QG=3,
∴,
綜上所述,存在點(diǎn)Q,使以A. C.M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.Q點(diǎn)坐標(biāo)為:.
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【題目】某年級(jí)組織學(xué)生參加夏令營(yíng)活動(dòng),本次夏令營(yíng)分為甲、乙、丙三組進(jìn)行活動(dòng).下面兩幅統(tǒng)計(jì)圖反映了學(xué)生報(bào)名參加夏令營(yíng)的情況,請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息回答下列問題:
(1)該年級(jí)報(bào)名參加丙組的人數(shù)為 ;
(2)該年級(jí)報(bào)名參加本次活動(dòng)的總?cè)藬?shù) ,并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)根據(jù)實(shí)際情況,需從甲組抽調(diào)部分同學(xué)到丙組,使丙組人數(shù)是甲組人數(shù)的3倍,應(yīng)從甲組抽調(diào)多少名學(xué)生到丙組?
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(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)N(點(diǎn)B除外),使得△ACN仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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①求證:△APB∽△DCP;
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(2)探究:將直角尺從圖2中的位置開始,繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中(圖1是該過程的某個(gè)時(shí)刻),觀察、猜想并解答:
① tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由.
② 設(shè)AE=x,當(dāng)△PBF是等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫出x的值.
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