【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為EF(點(diǎn)E,F分別在邊AC,BC上),給出以下判斷:①當(dāng)CD⊥AB時(shí),EF為△ABC的中位線;②當(dāng)四邊形CEDF為矩形時(shí),AC=BC;③當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似;④當(dāng)△CEF與△ABC相似時(shí),點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).其中正確的是_____(把所有正確的結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上).
【答案】①③
【解析】
①如圖1,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CE=DE,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;
②根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=DE,折疊四邊形CEDF是正方形,根據(jù)任意一個(gè)直角三角形都有一個(gè)內(nèi)接正方形即可得到結(jié)論;
③如圖2,連接CD,與EF交于點(diǎn)Q,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到CD=DB=AB,于是得到∠DCB=∠B,由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到∠CQF=∠DQF=90°,推出∠DCB+∠CFE=90°,由于∠B+∠A=90°,于是得到∠CFE=∠A,即可得到結(jié)論;
④分兩種情況討論:當(dāng)△CEF∽△CBA時(shí),由相似三角形的性質(zhì)得到∠EFD=∠CAB,∠EDF=∠ECF=90°,推出C,E,D,F四點(diǎn)共圓,根據(jù)圓周角定理得到∠ACD=∠EFD,等量代換得到∠ACD=∠A,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD=CD,同理CD=BD,即可得到結(jié)論;當(dāng)△CEF∽△CAB時(shí),點(diǎn)D不一定是AB的中點(diǎn),取決于AC與AB的關(guān)系.
①如圖1,
∵翻折∠C,使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處,折痕為EF,
∴CE=DE,
∴∠ECD=∠EDC
∵CD⊥AB,
∴∠ECD+∠A=∠EDC+∠EDA=90°
∴∠EDA=∠A
∴DE=AE,
∴AE=CE,同理CF=BF,
∴EF為△ABC的中位線;故①正確;
②∵CE=DE,四邊形CEDF為矩形
∴折疊四邊形CEDF是正方形,根據(jù)任意一個(gè)直角三角形都有一個(gè)內(nèi)接正方形,
AC不一定等于BC,故②錯(cuò)誤;
③當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí),△CEF與△ABC相似,
理由如下:如圖2,連接CD,與EF交于點(diǎn)Q,
∵CD是Rt△ABC的中線,
∴CD=DB=AB,
∴∠DCB=∠B,
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,∠CQF=∠DQF=90°,
∴∠DCB+∠CFE=90°,
∵∠B+∠A=90°,
∴∠CFE=∠A,
又∵∠C=∠C,
∴△CEF∽△CBA;故③正確;
④△CEF與△ABC相似,
當(dāng)△CEF∽△CBA時(shí),
∴∠EFD=∠CAB,∠EDF=∠ECF=90°,
∴C,E,D,F四點(diǎn)共圓,
∴∠ACD=∠EFD,
∴∠ACD=∠A,
∴AD=CD,同理CD=BD,
∴點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),
當(dāng)△CEF∽△CAB時(shí),
點(diǎn)D不一定是AB的中點(diǎn),
故④錯(cuò)誤.
故答案為:①③.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展,小明計(jì)劃給朋友快遞一部分物品,經(jīng)了解有甲乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示:快遞物品不超過1千克的,按每千克22元收費(fèi);超過1千克,超過的部分按每千克15元收費(fèi).乙公司表示:按每千克16元收費(fèi),另加包裝費(fèi)3元.設(shè)小明快遞物品x千克.
(1)根據(jù)題意,填寫下表:
重量(千克) 費(fèi)用(元) | 0.5 | 1 | 3 | 4 | … |
甲公司 | _________ | 22 | _________ | 67 | … |
乙公司 | 11 | ________ | 51 | _________ | … |
(2)請(qǐng)分別寫出甲乙兩家快遞公司快遞該物品的費(fèi)用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)小明應(yīng)選擇哪家快遞公司更省錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),交y軸正半軸于C點(diǎn),D為拋物線的頂點(diǎn),A(-1,0),B(3,0).
(1)求出二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)點(diǎn)P在x軸上,且∠PCB=∠CBD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)在x軸上方拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q,C,B,O為頂點(diǎn)的四邊形被對(duì)角線分成面積相等的兩部分?如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:是由拋物線:平移得到的,并且的頂點(diǎn)為(1,-4)
(1)求的值;
(2)如圖1,拋物線C1與x軸正半軸交于點(diǎn)A,直線經(jīng)過點(diǎn)A,交拋物線C1于另一點(diǎn)B.請(qǐng)你在線段AB上取點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線PQ∥y軸交拋物線C1于點(diǎn)Q,連接AQ.
①若AP=AQ,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
②若PA=PQ,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).
(3)如圖2,△MNE的頂點(diǎn)M、N在拋物線C2上,點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊,兩條直線ME、NE與拋物線C2均有唯一公共點(diǎn),ME、NE均與y軸不平行.若△MNE的面積為16,設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m、n,求m與n的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在中,∠B=90°,,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AC的中點(diǎn),連接將繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為.
問題發(fā)現(xiàn):
當(dāng)時(shí),_____;當(dāng)時(shí),_____.
拓展探究:
試判斷:當(dāng)時(shí),的大小有無(wú)變化?請(qǐng)僅就圖2的情況給出證明.
問題解決:
當(dāng)旋轉(zhuǎn)至A、D、E三點(diǎn)共線時(shí),直接寫出線段BD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】網(wǎng)絡(luò)銷售是一種重要的銷售方式.某農(nóng)貿(mào)公司新開設(shè)了一家網(wǎng)店,銷售當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品.其中一種當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)在網(wǎng)上試銷售,其成本為每千克2元.公司在試銷售期間,調(diào)查發(fā)現(xiàn),每天銷售量與銷售單價(jià)(元)滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系(其中).
(1)若,求與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)銷售單價(jià)為多少元時(shí),每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知銳角內(nèi)接于⊙O, 于點(diǎn)D,連結(jié)AO.
⑴若.
①求證:;
②當(dāng)時(shí),求面積的最大值;
⑵點(diǎn)E在線段OA上,,連接DE,設(shè),(m、n是正數(shù)),若,求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則下列說法正確的是( 。
A.甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)
B.甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)
C.甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差
D.甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展,武漢市第八十一中學(xué)每周三組織開展了社團(tuán)活動(dòng),分別設(shè)置了體育、舞蹈、文學(xué)、音樂社團(tuán)(要求人人參與社團(tuán),每人只能選擇一項(xiàng)),為了解學(xué)生喜愛哪種社團(tuán)活動(dòng),學(xué)校做了一次抽樣調(diào)查,根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息,完成下列問題:
(1)此次共調(diào)查了 人,補(bǔ)齊舞蹈社團(tuán)、音樂社團(tuán)條形圖;
(2)求音樂社團(tuán)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中所占圓心角的度數(shù) ;
(3)若該校有1600名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)喜歡體育類社團(tuán)的學(xué)生有多少人?
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