Question

已知，如圖，P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C，D．求證：
（1）OC=OD；
（2）OP是CD的垂直平分線．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB得出PC=PD，由HL定理得出△POC≌△POD，故可得出OC=OD；
（2）根據(jù)P是∠AOB平分線上的一點得出∠COP=∠DOP，根據(jù)SAS定理得出△COE≌△DOE，由此可得出結(jié)論．

解答：解：（1）證明：∵P是∠AOB平分線上的一點，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC=PD，
在Rt△POC與Rt△POD中，
∵

PC=PD OP=OP

，
∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），
∴OC=OD；

（2）證明：∵P是∠AOB平分線上的一點，
∴∠COP=∠DOP
∵由（1）知，OC=OD，
∴在△COE與△DOE中，

OC=OD ∠COP=∠DOP OE=OE

，
∴△COE≌△DOE，
∴CE=DE，OE⊥CD，即OP是CD的垂直平分線．

點評：本題考查的是角平分線的性質(zhì)，熟知角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解答此題的關鍵．