Question

如圖，已知矩形紙片ABCD，AB=1.5，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AD、AB交于點F、G（F≠D）．
（1）如果△AGF∽△DEF，求FG的長；
（2）如果以EG為直徑的圓與直線BC相切，求tan∠FGA．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,切線的性質(zhì),相似三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，再根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)可求FG的長；
（2）設(shè)AG=EG=x，EG的中點為M，過M作MN⊥BC，垂足為N，根據(jù)圓的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得EC=2MN-BG=2x-1.5，根據(jù)勾股定理得到x的值，再分當x=1時，當AG=x=

5

4

時，兩種情況討論，進一步得到tan∠FGA的值．

解答：解：（1）∵△AGF∽△DEF，
∴∠AFG=∠DFE，
又由折疊知∠AFG=∠EFG，
∴∠AFG=∠DFE=∠EFG=60°，
∴DF=

1

2

EF=

1

2

AF，
∴AF=

2

3

AD=

2

3

，FG=2AF=

4

3

；

（2）設(shè)AG=EG=x，EG的中點為M，過M作MN⊥BC，垂足為N
依題意MN=

1

2

EG=

1

2

x，MN是中位線，
∴EC=2MN-BG=2x-1.5，
由EG²=BC²+（EC-BG）²，即x²=1+（3x-3）²，
解得x=1或x=

5

4

，
當x=1時，AG=EG=1，ADEG是正方形，折痕DG=DG，與已知不符；
當AG=x=

5

4

時，EC=2x-1.5=1，DE=CD-EC=1.5-1=0.5，
在△DEF中，EF²=DE²+DF²，即AF²=0.5²+（1-AF）²，解得AF=

5

8

，
∴tan∠FGA=

AF

AG

=

1

2

．

點評：考查了相似三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，同時涉及到分類思想的應用．