Question

如圖，AB垂直平分CD，AB與CD相交于點(diǎn)O，CD=2cm，∠CAD=90°，∠CBD=60°，點(diǎn)P、Q、M、N分別沿圖示方向在線段上運(yùn)動(dòng)，同時(shí)開(kāi)始以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．
（1）設(shè)出發(fā)時(shí)間為t（s）是否存在某一時(shí)刻，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形？若存在，請(qǐng)證明時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）點(diǎn)P、Q、M、N分別與點(diǎn)O連結(jié)，圖中陰影部分圖形稱為蝶形，求蝶形面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜

2

）；
（3）當(dāng)t=

2

時(shí)，在AB上找一點(diǎn)G，使GQ+GM最小，畫出圖形并求此時(shí)OG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CO=DO，AC=AD，再由∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=2，AP=AQ=BM=BN=t，易判斷△APG和△ACD為等腰直角三角形，△BMN和△BCD為等邊三角形，所以AO=CO=DO=1，BO=

3

，CB=DB=2，PQ=

2

t，MN=t，然后利用PQ∥MN，PM=QN來(lái)得到四邊形PQMN為矩形，當(dāng)PQ=MN時(shí)，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形，則

2

t=t，解得t=0，于是得到不存在某一時(shí)刻，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形，
（2）如圖（2），AB與PQ、MN交于點(diǎn)E、F，根據(jù)等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)由PQ=

2

t，MN=t得到AE=

1

2

PQ=

2

2

t，BF=

3

2

MN=

3

2

t，則OE=OA-AE=1-

2

2

t，OF=OB-BF=

3

-

3

2

t，然后根據(jù)三角形面積公式和S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON進(jìn)行計(jì)算，得到S=-

6 + 2

4

t²+

6 +1

2

t（0＜t＜

2

）；
（3）當(dāng)t=

2

時(shí)，PQ=2，MN=

2

，即點(diǎn)Q與D重合，如圖（3），連接NQ交AB于G點(diǎn)，由于M關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為N，則GN=GM，所以GQ+GM=GN+GQ=NQ，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)G點(diǎn)使GQ+GM最小，建立如圖（3）的直角坐標(biāo)系，則D（1，0），再確定N點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線NQ的解析式，接著確定G點(diǎn)坐標(biāo)，于是可得到OG的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵AB垂直平分CD，
∴CO=DO，AC=AD，
∵∠CAD=90°，∠CBD=60°，CD=2，AP=AQ=BM=BN=t
∴△APG和△ACD為等腰直角三角形，△BMN和△BCD為等邊三角形，
∴AO=CO=DO=1，BO=

3

，CB=DB=2，PQ=

2

t，MN=t，
∵PQ∥CD，MN∥CD，
∴PQ∥MN，且PM=NQ，
∴當(dāng)PQ=MN時(shí)，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形，則

2

t=t，解得t=0，
∴不存在某一時(shí)刻，四邊形PQMN為長(zhǎng)方形，
（2）如圖（2），AB與PQ、MN交于點(diǎn)E、F，
∵PQ=

2

t，MN=t，
∴AE=

1

2

PQ=

2

2

t，BF=

3

2

MN=

3

2

t，
∴OE=OA-AE=1-

2

2

t，OF=OB-BF=

3

-

3

2

t，
∴S=S_梯形PQMN-S_△POQ-S_△MON=

1

2

•（t+

2

t）•（1-

2

2

t+

3

-

3

2

t）-

1

2

•

2

t•（1-

2

2

t）-

1

2

•t•（

3

-

3

2

t）=-

6 + 2

4

t²+

6 +1

2

t（0＜t＜

2

）；
（3）當(dāng)t=

2

時(shí)，PQ=2，MN=

2

，即點(diǎn)Q與D重合，
如圖（3），連接NQ交AB于G點(diǎn)，
∵M(jìn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)為N，
∴GN=GM，
∴GQ+GM=GN+GQ=NQ，
∴此時(shí)G點(diǎn)使GQ+GM最小，
建立如圖（3）的直角坐標(biāo)系，則D（1，0），
∵OF=

3

-

3

2

t=

3

-

6

2

，NF=

1

2

MN=

2

2

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（-

2

2

，-

3

+

6

2

），
設(shè)直線NQ的解析式為y=kx+b，
把D（1，0），N（-

2

2

，-

3

+

6

2

）代入得

k+b=0 - 2 2 k+b=- 3 + 6 2

，解得

k=3 3 -2 6 b=-3 3 +2 6

∴直線NQ的解析式為y=（3

3

-2

6

）x-3

3

+2

6

，
把x=0代入y=（3

3

-2

6

）x-3

3

+2

6

得y=-3

3

+2

6

，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-3

3

+2

6

），
∴OG=3

3

-2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)、矩形的判定方法、等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)；會(huì)利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積；能利用兩點(diǎn)之間線段最短解決兩線段和的最小值問(wèn)題；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題．