Question

【題目】如圖，已知BF是⊙O的直徑，A為⊙O上（異于B、F）一點，⊙O的切線MA與FB的延長線交于點M；P為AM上一點，PB的延長線交⊙O于點C，D為BC上一點且PA=PD，AD的延長線交⊙O于點E．

（1）求證： = ；
（2）若ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，求BE的長；
（3）若MA=6 ，sin∠AMF= ，求AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA、OE交BC于T．

∵AM是切線，

∴∠OAM=90°，

∴∠PAD+∠OAE=90°，

∵PA=PD，

∴∠PAD=∠PDA=∠EDT，

∵OA=OE，

∴∠OAE=∠OEA，

∴∠EDT+∠OEA=90°，

∴∠DTE=90°，

∴OE⊥BC，

∴ = ．

（2）∵ED、EA的長是一元二次方程x2﹣5x+5=0的兩根，

∴EDEA=5，

∵ = ，

∴∠BAE=∠EBD，∵∠BED=∠AEB，

∴△BED∽△AEB，

∴ = ，

∴BE2=DEEA=5，

∴BE= ．

（3）作AH⊥OM于H．

在Rt△AMO中，∵AM=6 ，sin∠M= = ，設OA=m，OM=3m，

∴9m2﹣m2=72，

∴m=3，

∴OA=3，OM=9，

易知∠OAH=∠M，
tan∠OAH=,

∴OH=1，AH=2 ．BH=2，

∴AB= =

【解析】（1）要證兩弧相等，可由垂徑定理的推論須證直徑垂直于弧所對的弦即可，須連結OE，證OEBC；（2）利用第（1）問的結論 = ，∴∠BAE=∠EBD，可得△BED∽△AEB，由對應邊成比例可得BE2=DEEA，再由根與系數(shù)的關系得DEEA=5，即BE= ；（3）利用三角函數(shù)的基本方法是把這個角放到直角三角形中，因此須作AH⊥OM于H，由正弦求出對邊=,再轉化∠OAH=∠M，由正弦求正切，求出OH，進而算出BH，利用勾股定理算出AB.
【考點精析】關于本題考查的根與系數(shù)的關系和切線的性質定理，需要了解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．