【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)M(4,0)為圓心,MO為半徑的半圓交x軸于點(diǎn)A,P為半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)在OP上方作Rt△OPB,且OP=2PB,OB交半圓于點(diǎn)Q.
(1)當(dāng)P為半圓弧的中點(diǎn)時(shí),求△OPB的面積.
(2)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,求MB的最大值.
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,若點(diǎn)Q將線段OB分為1:2的兩部分,求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)8;(2);(3)P(,)或(,).
【解析】
(1)由P為半圓弧的中點(diǎn)可知PM⊥OA,P(4,4),根據(jù)勾股定理求得OP=4, 由已知條件可得PB=2, 根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.
(2)連結(jié)AP,易證得B,P,A三點(diǎn)共線;在△OAB中,兩高線OP和AQ的交點(diǎn)C,則BC垂直于x軸,易得BM≤BC+CM,當(dāng)B,C,M在同一直線上時(shí),BM=BC+CM,BM取得最大值,求出此時(shí)的BM值即可.
(3)由點(diǎn)Q將線段OB分為1:2的兩部分,可知OQ:BQ=2:1或OQ:BQ=1:2;連接AQ,設(shè)出未出知數(shù),結(jié)合△OPB~△AQB,用未知數(shù)表示出AP和OP;在Rt△OAP中,由勾股定理構(gòu)造方程解出未知數(shù);并相應(yīng)的求出點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)即可.
(1)∵P為半圓弧的中點(diǎn),M(4,0),⊙M半徑為4,
∴P(4,4),PM⊥OA,
∴OP=,
∵OP=2PB,
∴PB=2,
在Rt△OPB中,
∴SRt△OPB=×PB×OP=.
∴△OPB的面積為8.
(2)連結(jié)AP,AQ交OP于點(diǎn)C,
∵OA是半圓M的直徑,
∴∠APO=∠AQO=90°,
又∵∠OPB=90°,
∴∠OPB+∠APO=180°,
∴點(diǎn)B,P,A三點(diǎn)共線,
連結(jié)BC,CM,BM,
∵在△OAB中,AQ和OP都是△OAB的高線,C是AQ和OP的交點(diǎn),
∴直線BC⊥OA,
∵BM≤BC+CM,
∴當(dāng)B,C,M在同一直線上時(shí),BM=BC+CM,BM取得最大值,此時(shí)BM⊥OA,
又∵OM=AM,
∴OB=AB.
設(shè)BP=x,則OP=2x,AB=OB=x,AP=x-x=(-1)x,
在Rt△OPA中,∵OP2+AP2=OA2 ,
∴(2x)2+(-1)x2=82 ,
解得x2=.
在Rt△OBM中,
∵BM2=OB2-OM2 ,
∴BM=
(3)連結(jié)AQ,過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OA于N,
①當(dāng)OQ:BQ=2:1,設(shè)BP=3x,則OP=6x,OB=x,則OQ=2x,BQ=x.
∵∠OPB=∠AQB=90°,∠B=∠B,
∴△OPB~△AQB,
∴,
則,即AB=5x,
則AP=AB-BP=2x,
在Rt△OPA中,由OP2+AP2=OA2 , 得(6x)2+(2x)2=82 ,
解得x2=
∵S△OPA=,
∴PN=,
則ON=,
∴點(diǎn)P(,).
②當(dāng)OQ:BQ=1:2,設(shè)BP=3x,則OP=6x,OB=3x,則OQ=x,BQ=2x.
∵∠OPB=∠AQB=90°,∠B=∠B,
∴△OPB~△AQB,
∴,
則,即AB=10x,
則AP=AB-BP=7x,
在Rt△OPA中,由OP2+AP2=OA2 , 得(6x)2+(7x)2=82 ,
解得x2=.
∵S△OPA=,
∴PN=,
則ON=,
∴點(diǎn)P(,).
綜上所述,P(,)或(,).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(a,0),B(b,0),其中a,b滿(mǎn)足|a+2|+(b﹣4)2=0.
(1)填空:a=_____,b=_____;
(2)如果在第三象限內(nèi)有一點(diǎn)M(﹣3,m),請(qǐng)用含m的式子表示△ABM的面積;
(3)在(2)條件下,當(dāng)m=﹣3時(shí),在y軸上有一點(diǎn)P,使得△ABP的面積與△ABM的面積相等,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=60°,點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的定點(diǎn)且OP=,若點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上異于點(diǎn)O的動(dòng)點(diǎn),則△PMN周長(zhǎng)的最小值是( )
A. B. C. 6 D. 3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,己知A(0,8),B(6,0),點(diǎn)M、N分別是線段AB、AO上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M、N中有一個(gè)點(diǎn)停止時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。
(1)當(dāng)t為何值時(shí),M為AB的中點(diǎn);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△AMN為直角三角形;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△AMN是等腰三角形?并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一個(gè)不透明袋子中有1個(gè)紅球和n個(gè)白球,這些球除顏色外無(wú)其他差別.
(1)當(dāng)n=l時(shí),從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球,摸到紅球與摸到白球的可能性是否相同? (填“相同”或“不相同”)
(2)從袋中隨機(jī)摸出1個(gè)球,記錄其顏色,然后放回,大量重復(fù)該實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.25,則n的值是 ;
(3)當(dāng)n=2時(shí),請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求兩次摸出的球顏色不同的概率(摸出一個(gè)球,不放回,然后再摸一個(gè)球).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是內(nèi)任意一點(diǎn),=5 cm,點(diǎn)和點(diǎn)分別是射線和射線上的動(dòng)點(diǎn),的最小值是5 cm,則的度數(shù)是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知,延長(zhǎng)至,使;延長(zhǎng)至,使;延長(zhǎng)至,使;連接、、,得.若的面積為,則的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,點(diǎn) A( 2,2)、B(0,1)點(diǎn) P 在 x 軸上,且△PAB 的等腰三角形,則滿(mǎn)足條件的點(diǎn) P 共有()個(gè)
A.1B.2C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD(AB>AD)中,點(diǎn)E在邊AB上,以點(diǎn)E為圓心,AE長(zhǎng)為半徑的⊙E分別交AB、AD于點(diǎn)N、N,與BC所在的直線相切于點(diǎn)G
(1)求證:EG∥MN;
(2)若AB=10,AD與BC之間的距離為6,求⊙E的半徑.
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