【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線y=﹣x﹣3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與x軸交于另一點(diǎn)B
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)D是第二象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AD、BD、CD,當(dāng)S△ACD= S四邊形ACBD時(shí),求D點(diǎn)坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,連接BC,過點(diǎn)D作DE⊥BC,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,點(diǎn)P是第三象限拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接QE,延長(zhǎng)QE與拋物線在A、D之間的部分交于一點(diǎn)F,當(dāng)∠DEF+∠BPC=∠DBE時(shí),求EF的長(zhǎng).
【答案】
(1)
解:∵令x=0得:y=﹣3,
∴C(0,﹣3).
令y=0得:﹣x﹣3=0,解得x=﹣3,
∴A(﹣3,0).
將A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式的: ,解得: .
∴拋物線的解析式為y=x2+2x﹣3
(2)
解:如圖1所示:
令y=0得:x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或x=1.
∴AB=4.
∵S△ACD= S四邊形ACBD,
∴S△ADC:S△DCB=3:5.
∴AE:EB=3:5.
∴AE=4× = .
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣ ,0).
設(shè)EC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)C和點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k=﹣2,b=﹣3.
∴直線CE的解析式為y=﹣2x﹣3.
將y=﹣2x﹣3與y=x2+2x﹣3聯(lián)立,解得:x=﹣4或x=0(舍去),
將x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得:y=5.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣4,5)
(3)
解:如圖2所示:過點(diǎn)D作DN⊥x軸,垂足為N,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M.
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)C和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得: ,
解得:k=3,b=﹣3.
∴直線BC的解析式為y=3x﹣3.
設(shè)直線DE的解析式為y=﹣ x+n,將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得:﹣ ×(﹣4)+n=5,解得n=5﹣ = .
∴直線DE的解析式為y=﹣ x+ .
將y=3x﹣3與y=﹣ x+ 聯(lián)立解得:x=2,y=3.
∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(2,3).
依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知:BC=CE= .
∵點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱,
∴PB=BQ.
在△PCB和△QEB中 ,
∴△PCB≌△QEB.
∴∠BPC=∠Q.
又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE,∠DEF=∠QEG,∠EGB=∠Q+∠QEG
∴∠DBE=∠DGB.
又∵∠DBE+∠BDE=90°,
∴∠DGB+∠BDG=90°,即∠PBD=90°.
∵D(﹣4,5),B(1,0),
∴DM=NB.
∴∠DBN=45°.
∴∠PBM=45°.
∴PM=MB
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2+2a﹣3),則BM=1﹣a,PM=﹣a2﹣2a+3.
∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3,解得:a=﹣2或a=1(舍去).
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣2,3).
∴PC∥x軸.
∵∠Q=∠BPC,
∴EQ∥PC.
∴點(diǎn)E與點(diǎn)F的縱坐標(biāo)相同.
將y=3代入拋物線的解析式得:x2+2x﹣3=3,解得:x=﹣1﹣ 或x=﹣1+ (舍去).
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(﹣1 ,3).
∴EF=2﹣(﹣1﹣ )=3+
【解析】(1)先求得A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求解即可;(2)先求得AB的長(zhǎng),然后依據(jù)S△ACD= S四邊形ACBD , 求得AE的長(zhǎng),可得到E的坐標(biāo)為(﹣ ,0),利用待定系數(shù)法可求得CE的解析式,然后CE的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)D的坐標(biāo);(3)過點(diǎn)D作DN⊥x軸,垂足為N,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為M.先求得BC和DE的解析式,從而可求得點(diǎn)E的坐標(biāo),然后可證明BC=BE,然后可證明△PCB≌△QEB,得到∠BPC=∠Q,依據(jù)題意可得到∠DBE=∠DGB.接下來,在證明∠PBD=90°,∠DBN=45°,然后可求得∠PBM=45°,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,a2+2a﹣3),則BM=1﹣a,PM=﹣a2﹣2a+3然后依據(jù)PM=MB可求得a的值,則可得到點(diǎn)P的坐標(biāo),然后可證明EF∥x軸,最后將點(diǎn)F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得點(diǎn)F的橫坐標(biāo),最后依據(jù)EF=xE﹣xF求解即可.
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B.40海里
C.20 海里
D.40 海里
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(1)榕樹和香樟樹的單價(jià)各是多少?
(2)根據(jù)學(xué)校實(shí)際情況,需購(gòu)買兩種樹苗共150棵,總費(fèi)用不超過10840元,且購(gòu)買香樟樹的棵數(shù)不少于榕樹的1.5倍,請(qǐng)你算算該校本次購(gòu)買榕樹和香樟樹共有哪幾種方案.
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A.α+10°
B.α+20°
C.α
D.2α
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