Question

如圖，點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，在以下判斷中，不正確的是（　�。�

A．當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，△APC是等腰三角形

B．當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，PO⊥AC

C．當(dāng)PO⊥AC時(shí)，∠ACP=30°

D．當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，△BPC是直角三角形

 

Answer 1

C

【解析】根據(jù)直角是圓中最長(zhǎng)的弦，可知當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，PB為⊙O的直徑，由圓周角定理得出∠BAP=90°，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出AP=CP，則△APC是等腰三角形，判斷A正確；

當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：①PA=PC；②AP=AC；③CP=CA；確定點(diǎn)P的位置后，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出PO⊥AC，判斷B正確；

當(dāng)PO⊥AC時(shí)，由垂徑定理得出PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；判斷C錯(cuò)誤；

當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P1的位置，或者在P2的位置．如果點(diǎn)P在P1的位置，易求∠BCP1=90°，△BP1C是直角三角形；如果點(diǎn)P在P2的位置，易求∠CBP2=90°，△BP2C是直角三角形；判斷D正確．

【解析】

A、如圖1，當(dāng)弦PB最長(zhǎng)時(shí)，PB為⊙O的直徑，則∠BAP=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=60°，AB=BC=CA，

∵點(diǎn)P是等邊三角形ABC外接圓⊙O上的點(diǎn)，

∴BP⊥AC，

∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，

∴AP=CP，

∴△APC是等腰三角形，

故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，分三種情況：

①如果PA=PC，那么點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，則點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合（如圖2），所以PO⊥AC，正確；

②如果AP=AC，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；

③如果CP=CA，那么點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，所以PO⊥AC，正確；

故本選項(xiàng)正確，不符合題意；

C、當(dāng)PO⊥AC時(shí)，PO平分AC，則PO是AC的垂直平分線，點(diǎn)P或者在圖1中的位置，或者與點(diǎn)B重合．

如果點(diǎn)P在圖1中的位置，∠ACP=30°；

如果點(diǎn)P在B點(diǎn)的位置，∠ACP=60°；

故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

D、當(dāng)∠ACP=30°時(shí)，點(diǎn)P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如圖3．

如果點(diǎn)P在P1的位置，∠BCP1=∠BCA+∠ACP1=60°+30°=90°，△BP1C是直角三角形；

如果點(diǎn)P在P2的位置，∵∠ACP2=30°，∴∠ABP2=∠ACP2=30°，

∴∠CBP2=∠ABC+∠ABP2=60°+30°=90°，△BP2C是直角三角形；

故本選項(xiàng)正確，不符合題意．

故選C．