Question

如圖，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠OAB=90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，對(duì)角線(xiàn)OB，AC相交于點(diǎn)M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）求△OCM的面積；
（3）若點(diǎn)E在過(guò)O，A，C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)F為該拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且以A，O，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于A(yíng)B為4，CB∥OA，則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，作CG⊥AO與x軸交于點(diǎn)G，結(jié)合OA=AB=4，OA=2CB即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)△CMB∽△AMO，得出

BM

OM

=

BC

AO

=1：2；求出△BCM的面積為△OCM面積的一半，又根據(jù)△CBO面積為△BOA面積的一半，只要求出梯形OABC的面積即可求出△OCM的面積．
（3）先求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入解析式即可求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo)，注意，符合條件的F點(diǎn)不止一個(gè)．

解答：解：（1）如圖，作CG⊥AO與x軸交于點(diǎn)G，則CB=AG，
∵OA=2CB，
∴OA=2AG，
∵AO=4，
∴OG=2，
由于A(yíng)B為4，CB∥OA，則C點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
∴C（2，4）．

（2）∵AO=2CB，
∴2S_△CBO=S_△AOB，
∵S_梯形ABCO=

1

2

（CB+AO）•AB=

1

2

×（2+4）×4=12，
∴S_△CBO=12×

1

3

=4，
∵CB∥AO，
∴△CMB∽△AMO，
∴

CB

AO

=

BM

OM

，

CB

AO

=

1

2

，
則

BM

OM

=

1

2

，
∴S_△COM=

2

3

S_△COB=

2

3

×4=

8

3

；

（3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4），
∴設(shè)解析式為y=a（x-0）（x-4），
將（2，4）代入解析式得，4=a（2-0）（2-4），
解得a=-1．
則解析式為y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x．
由圖可知F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2+4=6，
將x=6代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F（6，-12）．
由圖可知F₁點(diǎn)橫坐標(biāo)為2-4=-2，
將x=-2代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F₁（-2，-12）．
當(dāng)F與C重合時(shí)，F(xiàn)₂（2，4）．
故F點(diǎn)的坐標(biāo)為：（6，-12），F(xiàn)₁（-2，-12），F(xiàn)₂（2，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和梯形及平行四邊形的性質(zhì)，將坐標(biāo)與圖形相結(jié)合，使得這道題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性，同時(shí)要注意分類(lèi)討論．