Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O 上，點P是直徑AB上的一點，（不與A，B重合），過點P作AB的垂線交BC的延長線于點Q．
（1）點D在線段PQ上，且DQ=DC．求證：CD是⊙O的切線；
（2）若sinQ=

3

5

，BP=6，AP=1，求QC的長．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：1）連結(jié)OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根據(jù)QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，則∠1+∠2=90°，再利用平角的定義得到∠DCO=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到CD為⊙O的切線；
（2）連結(jié)AC，由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，根據(jù)余弦的定義得cosB=

BC

AB

=

BC

AP+PB

=

3

5

，可計算出BC=

21

5

，在Rt△BPQ中，利用余弦的定義得cosB=

PB

BQ

=

3

5

，可計算出BQ=10，然后利用QC=BQ-BC進行計算即可．

解答：證明：（1）連結(jié)OC，如圖，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC為⊙O的半徑，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：連接AC，如圖，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB=

BC

AB

=

BC

AP+PB

=

3

5

，
而BP=6，AP=1，
∴BC=

21

5

，
在Rt△BPQ中，cosB=

PB

BQ

=

3

5

，
∴BQ=

6

3 5

=10，
∴QC=BQ-BC=10-

21

5

=

29

5

．

點評：本題考查了切線的判定和解直角三角形的應(yīng)用，切線的判定定理是：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查圓周角定理的推論以及解直角三角形．