Question

如圖，A、B是一條河l同側(cè)的兩個(gè)村莊，且A、B兩個(gè)村莊到河的距離分別是3千米和5千米，兩村莊之間的距離AB為2

10

km，先要在河邊l上建造一水廠(chǎng)，直接向A、B兩村送水（中間水管不再分流），鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為20萬(wàn)元/千米，修建該工程政府出資180萬(wàn)元．
（1）問(wèn)兩個(gè)村莊村民自籌資金至少多少元？
（2）求水廠(chǎng)與B村莊的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,勾股定理的應(yīng)用

專(zhuān)題：

分析：（1）求線(xiàn)段最短的問(wèn)題，可作出點(diǎn)A關(guān)于河的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE，則BE就是所求的最短距離，再構(gòu)造直角三角形，由勾股定理求得BE的值．
（2）根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出

BP

BE

BD

BF

，即可求得水廠(chǎng)與B村莊的距離．

解答：解：如圖：作A關(guān)于河的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接AE，連接BE，則BE就是所求的最短距離．
過(guò)A作AG⊥BF于G，過(guò)E作EF⊥BF于F，
∵AC=3千米，BD=5千米，
∴BG=5-3=2千米，GD=AC=3千米，CE=DF=AC=3千米，BF=5+3=8千米．
在Rt△ABG中，AB²=AG²+BG²，
（2

10

）²=AG²+2²
解得：AG=6，
∴EF=6千米．
在Rt△BEF中，EF=6千米，BF=8千米，
由勾股定理得：BE=

EF2+BF2

=10千米．
總費(fèi)用是：20×10=200（萬(wàn)元），
即需要自籌200萬(wàn)元-180萬(wàn)元=2萬(wàn)元．
（2）∵CD∥EF，
∴

BP

BE

BD

BF

，
∵BE=10，BF=8，BD=5，
∴BP=

5×10

8

=

25

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．