Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（b，0），且a、b滿足a=

3-b

+

b-3

-1，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，分別得到點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，D，連接AC，BD，CD．

（1）求點(diǎn)C，D的坐標(biāo)及四邊形ABDC的面積S_{四邊形ABDC}．
（2）在y軸上是否存在一點(diǎn)P，連接PA，PB，使S_△PAB=S_{四邊形ABDC}？若存在這樣一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．
（3）點(diǎn)P是線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PO，當(dāng)點(diǎn)P在BD上移動(dòng)時(shí)（不與B，D重合）

∠DCP+∠BOP

∠CPO

的值是否發(fā)生變化，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根,三角形的面積

專題：

分析：（1）根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式求出b，再求出a，從而得到A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)向上平移縱坐標(biāo)加，向右平移橫坐標(biāo)加求出點(diǎn)C、D的坐標(biāo)即可，然后利用平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)三角形的面積公式列出方程求出OP，再分點(diǎn)P在y軸正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論求解；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得AB∥CD，再過點(diǎn)P作PE∥AB，根據(jù)平行公理可得PE∥CD，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，從而判斷出比值不變．

解答：解：（1）由題意得，3-b≥0且b-3≥0，
解得b≤3且b≥3，
∴b=3，
a=-1，
∴A（-1，0），B（3，0），
∵點(diǎn)A，B分別向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，
∴點(diǎn)C（0，2），D（4，2）；
∵AB=3-（-1）=3+1=4，
∴S_{四邊形ABDC}=4×2=8；

（2）∵S_△PAB=S_{四邊形ABDC}，
∴

1

2

×4•OP=8，
解得OP=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4）或（0，-4）；

（3）

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，比值不變．
理由如下：由平移的性質(zhì)可得AB∥CD，
如圖，過點(diǎn)P作PE∥AB，則PE∥CD，
∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴

∠DCP+∠BOP

∠CPO

=1，比值不變．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形的面積，平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．