Question

如圖1，把一個(gè)邊長(zhǎng)為2

2

的正方形ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的拋物線C₁交x軸于點(diǎn)M、N（M在N的左邊）．
（1）求拋物線C₁的解析式及點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（2）如圖2，另一個(gè)邊長(zhǎng)為2

2

的正方形A′B′C′D′的中心G在點(diǎn)M上，B′、D′在x軸的負(fù)半軸上（D′在B′的左邊），點(diǎn)A′在第三象限，當(dāng)點(diǎn)G沿著拋物線C₁從點(diǎn)M移到點(diǎn)N，正方形A′B′C′D′隨之移動(dòng)，移動(dòng)中B′D′始終與x軸平行．
①直接寫出點(diǎn)C′、D′移動(dòng)路線形成的拋物線C_（C’）、C_（D’）的函數(shù)關(guān)系式；
②如圖3，當(dāng)正方形A′B′C′D′移動(dòng)到與正方形ABCD至少有一邊在同一直線上時(shí)，求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，由勾股定理可求OC，BD的長(zhǎng)，從而得到C點(diǎn)、B點(diǎn)、D點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+c，將C點(diǎn)、B點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線C₁的解析式；令y=0，解方程即可得到點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)拋物線平移的規(guī)律即可得到點(diǎn)C′、D′移動(dòng)路線形成的拋物線C_（C’）、C_（D’）的函數(shù)關(guān)系式；
②設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-

1

2

x²+4），則B′點(diǎn)坐標(biāo)為（x+2，-

1

2

x²+4），根據(jù)B′點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：（1）BD=OC=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4，
∴C（0，4），B（2，2），D（-2，2），
設(shè)拋物線C₁的解析式為y=ax²+c，則

c=4 4a+c=2

，
解得

a=- 1 2 c=4

故拋物線C₁的解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+4，
當(dāng)y=0時(shí)，-

1

2

x²+4=0，
解得x₁=-2

2

，x₂=2

2

．
則M（-2

2

，0），N（2

2

，0）；

（2）①點(diǎn)C′移動(dòng)路線形成的拋物線y_c′=-

1

2

x²+6；
點(diǎn)D′移動(dòng)路線形成的拋物線y_D′=-

1

2

（x-2）²+4．

②設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，-

1

2

x²+4），則B′點(diǎn)坐標(biāo)為（x+2，-

1

2

x²+4），
則x+2+（-

1

2

x²+4）=0，
解得x₁=1-

13

，x₂=1+

13

（不合題意舍去），
-

1

2

x²+4=-

1

2

×（1-

13

）²+4=-3+

13

，
故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)G的坐標(biāo)為（1-

13

，-3+

13

）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：正方形的性質(zhì)，勾股定理，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，拋物線平移的規(guī)律，方程思想的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．