Question

【題目】如圖所示，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，D點(diǎn)在邊BC上運(yùn)動(dòng)(不與B、C重合)，點(diǎn)E在邊AB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在邊AC的延長(zhǎng)線上，AD=DE=DF.

(1)若∠AED=30°，則∠ADB=_______°.

(2)求證：△BED≌△CDF

(3)點(diǎn)D在BC邊上從B至C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BED周長(zhǎng)變化規(guī)律為( )

A.不變 B.一直變小 C.先變大后變小 D.先變小后變大

Answer 1

【答案】(1)90°；(2)證明見(jiàn)解析；(3)D

【解析】

（1）根據(jù)AD=DE，可知∠DAE=∠AED，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理從而可知∠ADB的度數(shù)；

（2）通過(guò)AD=DE=DF，可以得知∠BDE=∠DFC，由三角形ABC為等邊三角形，可知∠DBE=∠FCD，從而根據(jù)AAS可證得△BED≌△CDF；

（3）根據(jù)AD=DE，△ABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，可得出AD的最小值，在D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BD是一直變大的過(guò)程，而AD是由大變小在變大的過(guò)程，經(jīng)過(guò)分析即可選出答案。

（1）∵AD=DE，

∴∠DAE=∠AED=30°，

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC=60°

∴∠ADB=180°-∠DAE-∠ABC=90°

（2）證明：∵AD=DE=DF，

∴∠BED=∠BAD，∠DAC=∠DFC

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°

∴∠BED+∠BDE=∠ABC=60°（三角形外角定理）

即∠BAD+∠BDE=60°

又∵∠BAD+∠DAC=60°

∴∠BDE=∠DAC

∴∠BDE=∠DFC

∵∠DBE=180°-∠ABC，∠FCD=180°-∠ACB

∴∠DBE=∠FCD

在△BED中△CDF中

△BED≌△CDF（AAS）

（3）∵△BED周長(zhǎng)是BE+BD+DE，DE=AD

∴△BED周長(zhǎng)是BE+BD+AD

∵點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE不變，BD在逐漸變大，

∴可以不考慮BE與BD

∴影響△BED周長(zhǎng)的是AD，

又∵AD在變化過(guò)程中會(huì)經(jīng)歷一個(gè)由大變小在變大的過(guò)程，在AD⊥BC時(shí)有最小值

∴△BED周長(zhǎng)變化規(guī)律為先變小在變大

∴選D