Question

【題目】如圖1所示，A、B兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A以每秒x個(gè)單位長(zhǎng)度沿x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B以每秒y個(gè)單位長(zhǎng)度沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng)．

（1）若|x+2y-10|+|2x-y|=0，試分別求出1秒鐘后△AOB的面積；

（2）如圖2，所示，設(shè)∠BAO的鄰補(bǔ)角和∠ABO的鄰補(bǔ)角的平分線相交于點(diǎn)P，問：點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖3所示，延長(zhǎng)BA至E，在∠ABO的內(nèi)部作射線BF交x軸于點(diǎn)C，若∠EAC、∠FCA、∠ABC的平分線相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作BE的垂線，垂足為H，設(shè)∠AGH=α，∠BGC=β，試探究出α和β滿足的數(shù)量關(guān)系并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）1秒鐘后△AOB的面積=4；（2）點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小不變，∠P=45°，理由見解析；（3）α=β，理由見解析.

【解析】

（1）解二元一次方程組求出x、y，得到OA、OB的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)角平分線的定義得到∠PAB=∠EAB，∠PBA=∠FBA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可；
（3）作GM⊥BF于點(diǎn)M，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)計(jì)算．

（1）由題意得，，

解得， ，

由題意得，1秒鐘后OA=2，OB=4，

則1秒鐘后△AOB的面積= ×2×4=4；

（2）點(diǎn)A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，∠P的大小不變，∠P=45°，

理由如下：∵∠AOB=90°

∴∠OAB+∠OBA=90°

∴∠EAB+∠FBA=270°，

∵AP平分∠EAB，

∴∠PAB=∠EAB，

同理，∠PBA=∠FBA，

∴∠PAB+∠PBA=（∠EAB+∠FBA）=135°，

∴∠P=180°-135°=45°；

（3）α=β，

理由如下：作GM⊥BF于點(diǎn)M，

∠AGH=90°- ∠EAC

=90°- （180°-∠BAC）

= ∠BAC，

∠BGC=∠BGM-∠CGM

=90°-∠ABC-（90°-∠ACF）

= （∠ACF-∠ABC）

= ∠BAC

∴∠AGH=∠BGC，即α=β．