Question

點(diǎn)B與點(diǎn)P都在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的圖象上，其中P為反比例函數(shù)該圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OB=4，過B，P作x軸垂線垂足分別為A，C，∠BOA=30°．設(shè)P（m，n），Rt△AOB與Rt△COP重合部分面積為S．
（1）求反比函數(shù)的解析式；
（2）求S與m的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）利用OB=4，∠BOA=30°求得線段AB和線段OA的長(zhǎng)即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可以求得經(jīng)過點(diǎn)B的雙曲線的解析式；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左邊時(shí)，求得線段OB所在直線的解析式，然后求得線段OB和線段PC的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可以表示出面積S，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右邊時(shí)，求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出S．

解答：解：（1）∵OB=4，過B，P作x軸垂線垂足分別為A，C，∠BOA=30°，
∴BA=

1

2

OB=2，
∴OA=

3

AB=2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2

3

，2），
∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0）（x＞0）第一象限的圖象上，
∴2=

k

2 3

，
解得：k=4

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4 3

x

；

（2）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左邊時(shí)，
設(shè)線段OB所在直線的解析式為：y=kx，
∵y=kx經(jīng)過B點(diǎn)，
∴2

3

k=2，
解得：k=

3

3

，
∴線段OB所在直線的解析式為：y=

3

3

x．
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），PC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，
∵點(diǎn)D在直線：y=

3

3

x上，
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為

3

3

m，
∴線段OC=m，線段CD=

3

3

m，
∴S=

1

2

OC•CD=

1

2

×m×

3

3

m=

3

6

m²．
如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右邊時(shí)，
∵P點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），且在反比例函數(shù)y=

4 3

x

上，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，

4 3

m

），
∵AD∥PC，
∴△OAD∽△OCP，
∴

AO

CO

=

AD

PC

，
∴

2 3

m

=

AD

4 3 m

，
∴AD=

24

m2

，
∴S=

1

2

OA•AD=

1

2

×2

3

×

24

m2

=

24 3

m2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)Ⅻc(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)，從而用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出三角形的面積．