Question

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=24，BC=32，點P從A點出發(fā)，以1cm/s的速度向D運動，點Q從C點同時出發(fā)，以3cm/s的速度向B運動，規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點，也隨之停止運動．
（1）從運動開始，兩點運動多長時間時，PQ=CD？
（2）從運動開始，是否存在某個時間，使得四邊形ABQP恰好為正方形？若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：正方形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),直角梯形

專題：動點型

分析：（1）分兩種情況：①PQ∥DC，且PQ=DC；②PQ與DC不平行，但PQ=CD；
（2）假設(shè)存在某個時間，使得四邊形ABQP恰好為正方形，那么AP=BQ，據(jù)此列出方程．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當P、Q運動到P₁D=Q₁C，P₁D平行且等于Q₁C，
此時四邊形P₁DCQ₁是平行四邊形，此時P₁Q₁=CD．
設(shè)運動時間為t秒，則AP₁=t，P₁D=24-t，CQ₁=3t，BQ₁=32-3t，
∵P₁D=CQ₁，
∴24-t=3t，
解得t=6，
即t=6時，P₁Q₁=CD；
②當P、Q運動到P₂，Q₂時，過D，P₂分別作DH⊥BC于H，P₂G⊥BC于G，
當Q₂G=HC=8時，△P₂Q₂G≌△DCH，此時P₂Q₂=CD．
∵CQ₂=CH+HG+GQ₂=CH+DP₂+GQ₂，
∴3t=8+（24-t）+8，
解得t=10．
綜上所述，從運動開始，兩點運動6秒或10秒時，PQ=CD；

（2）假設(shè)存在某個時間，使得四邊形ABQP恰好為正方形．
如圖．∵∠B=90°，AD∥BC，
∴當AP=BQ時，四邊形ABQP為矩形，
即t=32-3t，解得t=8，
此時AP=AB=8，
∴矩形ABQP為正方形，
所以當t=8時，四邊形ABQP是正方形．

點評：本題考查了梯形的性質(zhì)，正方形的判定，平行四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，綜合性較強，難度適中．