【題目】如圖，中，以，以為邊作等腰三角形，，，分別為邊CD，BC上的點(diǎn)，連結(jié)AE，AF，EF，.

求證：.

若，求的度數(shù).

請(qǐng)直接指出：當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，?

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用角的和差關(guān)系可得∠EAC=∠BAF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠B=60°，利用ASA即可證明△ABF≌△ACE；（2）由△ABF≌△ACE可得AE=AF，∠AEC=∠AFB，根據(jù)平角定義可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠AEF=60°，即可求出∠EFC的度數(shù)；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=AF，CE=BF，由等腰三角形的性質(zhì)可得AC是EF的垂直平分線，即可得CE=CF，進(jìn)而可得CF=BF，即可得點(diǎn)F為BC中點(diǎn).

，

,

,

,

,

,

,

在△ABF和△ACE中，，

.

由可知，,

,

，

，

，

.

當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，理由如下：

,

,

∵AC⊥EF，

∴AC為EF的垂直平分線，

∴CE=CF，

∴BF=CF，即點(diǎn)F為BC中點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動(dòng)程序，若在水溫為時(shí)，接通電源后，水溫和時(shí)間的關(guān)系如圖．開(kāi)機(jī)加熱時(shí)每分鐘上升，加熱到，飲水機(jī)關(guān)機(jī)停止加熱，水溫開(kāi)始下降，下降時(shí)水溫與開(kāi)機(jī)后的時(shí)間成反比例關(guān)系．當(dāng)水溫降至，飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)機(jī)，重復(fù)上述自動(dòng)程序．若上午開(kāi)機(jī)，則時(shí)能否喝到超過(guò)的水？說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（ ）

A.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

B.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上

C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等

D.以上均不正確

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知：△ABC與△A'B'C在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．

（1）分別寫(xiě)出B、B'的坐標(biāo)：B______；B′______；

（2）若點(diǎn)P（a，b）是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則平移后△A'B'C內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為______；

（3）求△ABC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】身高米的兵兵在建筑物前放風(fēng)箏，風(fēng)箏不小心掛在了樹(shù)上．在如圖所示的平面圖形中，矩形代表建筑物，兵兵位于建筑物前點(diǎn)處，風(fēng)箏掛在建筑物上方的樹(shù)枝點(diǎn)處（點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上）．經(jīng)測(cè)量，兵兵與建筑物的距離米，建筑物底部寬米，風(fēng)箏所在點(diǎn)與建筑物頂點(diǎn)及風(fēng)箏線在手中的點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)距地面的高度米，風(fēng)箏線與水平線夾角為．

求風(fēng)箏距地面的高度；

在建筑物后面有長(zhǎng)米的梯子，梯腳在距墻米處固定擺放，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明：若兵兵充分利用梯子和一根米長(zhǎng)的竹竿能否觸到掛在樹(shù)上的風(fēng)箏？

（參考數(shù)據(jù)：，，）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別是AD和AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE=DF，連結(jié)BF，CE．下列說(shuō)法：①△ABD和△ACD面積相等；②CE=AE；③△BDF≌△CDE； ④BF∥CE；⑤∠BAD=∠CAD．其中正確的有( ).

A.①⑤B.③⑤C.①③④D.①②④

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊

（1）若a=，c=4，求b

（2）若c=8，∠A=30°，求b

（3）若a:b=3:4，c=15，求Rt△ABC的面積．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，O為菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，M是射線CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)C、O、A都不重合），過(guò)點(diǎn)A、C分別向直線BM作垂線段，垂足分別為E、F，連接OE，OF．

（1）①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②猜想OE與OF的數(shù)量關(guān)系為_________________.

（2）小東通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M在射線CA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（1）中的猜想始終成立．

小東把這個(gè)發(fā)現(xiàn)與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明（1）中猜想的幾種想法：

想法1：由已知條件和菱形對(duì)角線互相平分，可以構(gòu)造與△OAE全等的三角形，從而得到相等的線段，再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即可證明猜想；

想法2：由已知條件和菱形對(duì)角線互相垂直，能找到兩組共斜邊的直角三角形，例如其中的一組△OAB和△EAB，再依據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，菱形四邊相等，可以構(gòu)造一對(duì)以OE和OF為對(duì)應(yīng)邊的全等三角形，即可證明猜想．

……

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小東證明（1）中的猜想（一種方法即可）．

（3）當(dāng)∠ADC=120°時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CF，AE，EF之間的數(shù)量關(guān)系是_________________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】數(shù)學(xué)研究課上，老師帶領(lǐng)大家探究《折紙中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》時(shí)，出示如圖1所示的長(zhǎng)方形紙條，其中，．然后在紙條上任意畫(huà)一條截線段，將紙片沿折疊，與交于點(diǎn)，得到．如圖2所示：

探究：

（1）若，______°；

（2）改變折痕位置，始終是______三角形，請(qǐng)說(shuō)明理由；

應(yīng)用：

（3）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明在研究的面積時(shí)，發(fā)現(xiàn)邊上的高始終是個(gè)不變的值．根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)，他很快研究出的面積最小值為，此時(shí)的大小可以為______°；

（4）小明繼續(xù)動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了面積的最大值．請(qǐng)你求出這個(gè)最大值．

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