【題目】問題情境:如圖①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點(diǎn)D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
(1)特例探究:如圖②,∠MAN=90,射線AE在這個(gè)角的內(nèi)部,點(diǎn)B.C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點(diǎn)F,BD⊥AE于點(diǎn)D.證明:△ABD≌△CAF;
(2)歸納證明:如圖③,點(diǎn)B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點(diǎn)E,F在∠MAN內(nèi)部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
(3)拓展應(yīng)用:如圖④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上,CD=2BD,點(diǎn)E.F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為18,求△ACF與△BDE的面積之和是多少?
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)6.
【解析】
(1)求出∠BDA=∠AFC=90°,∠ABD=∠CAF,根據(jù)AAS證△ABD≌△CAF即可;
(2)根據(jù)題意和三角形外角性質(zhì)求出∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,根據(jù)ASA證△BAE≌△CAF即可;
(3)求出△ABD的面積,根據(jù)△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積,即可得出答案.
(1)證明:如圖②,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°,
∴∠BDA=∠AFC=90°,
∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°,
∴∠ABD=∠CAF,
在△ABD和△CAF中,
∴△ABD≌△CAF(AAS);
(2)證明:如圖③,∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,
∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,
∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,
在△BAE和△CAF中,
∴△BAE≌△CAF(ASA);
(3)如圖④,∵△ABC的面積為18,CD=2BD,
∴△ABD的面積,
由(2)可得△BAE≌△CAF,
即△BAE的面積=△ACF的面積,
∴△ACF與△BDE的面積之和等于△BAE與△BDE的面積之和,
即△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個(gè)箱子,其中甲箱內(nèi)有顆球,分別標(biāo)記號(hào)碼,且號(hào)碼為不重復(fù)的整數(shù),乙箱內(nèi)沒有球.已知小育從甲箱內(nèi)拿出顆球放入乙箱后,乙箱內(nèi)球的號(hào)碼的中位數(shù)為.若此時(shí)甲箱內(nèi)有顆球的號(hào)碼小于,有顆球的號(hào)碼大于,若他們的中位數(shù)都為,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上,且ED=EC.
(1)(特殊情況,探索結(jié)論)
如圖1,當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫出結(jié)論:
AE DB(填“>”、“<”或“=”).
(2)(特例啟發(fā),解答題目)
如圖2,當(dāng)點(diǎn)E為AB邊上任意一點(diǎn)時(shí),確定線段AE與DB的大小關(guān)系,請(qǐng)你直接寫出結(jié)論,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC,交AC于點(diǎn)F.(請(qǐng)你將解答過(guò)程完整寫下來(lái)).
(3)(拓展結(jié)論,設(shè)計(jì)新題)
在等邊三角形ABC中,點(diǎn)E在直線AB上,點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上,且ED=EC,若△ABC的邊長(zhǎng)為1,AE=2,求CD的長(zhǎng).(請(qǐng)你畫出相應(yīng)圖形,并直接寫出結(jié)果).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,點(diǎn)D,E分別在邊BC,AC上,且DE∥AB,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,
(1)求∠F的度數(shù);
(2)若CD=5,求DF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,L1反映了某公司產(chǎn)品的銷售收入(元)與銷售量的函數(shù)關(guān)系,L2反映了該公司產(chǎn)品的銷售成本(元)與銷售量的函數(shù)關(guān)系,根據(jù)圖象解答問題:
(1)分別求出銷售收入和銷售成本與的函數(shù)關(guān)系式
(2)指出兩圖象的交點(diǎn)的實(shí)際意義,公司的銷售量至少要達(dá)到多少才能不虧損?
(3)如果該公司要盈利1萬(wàn)元,需要銷售多少噸產(chǎn)品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,另一直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C,D,兩直線相交于點(diǎn)M.
求點(diǎn)M的坐標(biāo);
連接AD,求△AMD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AC上,且BD=DF.
(1)求證:CF=EB;
(2)請(qǐng)你判斷AE、AF與BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)M,N分別是∠AOB的邊OA,OB上的點(diǎn),OM=3,ON=7,在∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)G,到邊OA,OB的距離相等,且滿足GM=GN.
(1)尺規(guī)作圖:畫出點(diǎn)G(要求:保留作圖痕跡);
(2)試證明:∠OMG+∠ONG=180°;
(3)若P,Q分別是射線OA,OB上的動(dòng)點(diǎn),且滿足GP=GQ,則當(dāng)OP=4時(shí),OQ的長(zhǎng)度為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn) A,B,C 的坐標(biāo)分別是(2,1),(6,1),(3,5),若△A1B1C1 與△ABC 關(guān)于x 軸對(duì)稱
(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出△A1B1C1,并寫出 A1,B1,C1 三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)
(2)求出△A1B1C1的面積
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