【題目】已知,在等邊三角形ABC中,點E在AB上,點D在CB的延長線上,且ED=EC.
(1)(特殊情況,探索結論)
如圖1,當點E為AB的中點時,確定線段AE與DB的大小關系,請你直接寫出結論:
AE DB(填“>”、“<”或“=”).
(2)(特例啟發(fā),解答題目)
如圖2,當點E為AB邊上任意一點時,確定線段AE與DB的大小關系,請你直接寫出結論,AE DB(填“>”、“<”或“=”);理由如下,過點E作EF∥BC,交AC于點F.(請你將解答過程完整寫下來).
(3)(拓展結論,設計新題)
在等邊三角形ABC中,點E在直線AB上,點D在線段CB的延長線上,且ED=EC,若△ABC的邊長為1,AE=2,求CD的長.(請你畫出相應圖形,并直接寫出結果).
【答案】(1)=;(2)=;理由見解析;(3)3.
【解析】
(1)由E為等邊三角形AB邊的中點,利用三線合一得到CE垂直于AB,且CE為角平分線,由ED=EC,利用等邊對等角及等腰三角形的性質得到一對角相等,利用等角對等邊即可得證;
(2)AE=DB,理由如下,過點E作EF∥BC,交AC于點F,由三角形ABC為等邊三角形,得到三角形AEF為等邊三角形,進而得到AE=EF=AF,BE=FC,再由ED=EC,以及等式的性質得到夾角相等,利用SAS得到三角形BDE與三角形EFC全等,利用全等三角形對應邊相等得到DB=EF,等量代換即可得證;
(3)點E在AB延長線上時,如圖所示,同理可得△DBE≌△EFC,由BC+DB求出CD的長即可.
(1)當E為AB的中點時,AE=DB;
(2)AE=DB,理由如下,過點E作EF∥BC,交AC于點F,
證明:∵△ABC為等邊三角形,
∴△AEF為等邊三角形,
∴AE=EF,BE=CF,
∵ED=EC,
∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,
∴∠DEB=∠ECF,
在△DBE和△EFC中,
,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
則AE=DB;
(3)點E在AB延長線上時,如圖所示,同理可得△DBE≌△EFC,
∴DB=EF=2,BC=1,
則CD=BC+DB=3.
故答案為:(1)=;(2)=(3)3
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,已知拋物線過,,三點,點的坐標是,點的坐標是,動點在拋物線上.
________,________,點的坐標為________;(直接填寫結果)
是否存在點,使得是以為直角邊的直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點的坐標;若不存在,說明理由;
過動點作垂直軸于點,交直線于點,過點作軸的垂線.垂足為,連接,當線段的長度最短時,求出點的坐標.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1, △ABC和△CDE均為等腰三角形,AC=BC, CD=CE, AC>CD, ∠ACB=∠DCE=a,且點A、D、E在同一直線上,連結BE.
(1)求證: AD=BE.
(2)如圖2,若a=90°,CM⊥AE于E.若CM=7, BE=10, 試求AB的長.
(3)如圖3,若a=120°, CM⊥AE于E, BN⊥AE于N, BN=a, CM=b,直接寫出AE的值(用a, b 的代數式表示).
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線交于點F,過點F作DE∥BC交AB于點D,交AC于點E,那么下列結論,①△BDF是等腰三角形;②DE=BD+CE;③若∠A=50°,∠BFC=105°;④BF=CF.其中正確的有( 。
A.1個B.2個C.3個D.4個
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【題目】定義:如圖1,在平面直角坐標系中,點M是二次函數圖象上一點,過點M作軸,如果二次函數的圖象與關于l成軸對稱,則稱是關于點M的伴隨函數如圖2,在平面直角坐標系中,二次函數的函數表達式是,點M是二次函數圖象上一點,且點M的橫坐標為m,二次函數是關于點M的伴隨函數.
若,
求的函數表達式.
點,在二次函數的圖象上,若,a的取值范圍為______.
過點M作軸,
如果,線段MN與的圖象交于點P,且MP::3,求m的值.
如圖3,二次函數的圖象在MN上方的部分記為,剩余的部分沿MN翻折得到,由和所組成的圖象記為.以、為頂點在x軸上方作正方形直接寫出正方形ABCD與G有三個公共點時m的取值范圍.
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【題目】某城市出租汽車收費標準為:以內(含)收費元;超出的部分,每千米收費元.
(1)寫出車費元與行駛路程x(km)之間的函數關系式(≥4);
(2)某人乘出租汽車行駛了5 km,應付多少車費;
(3)若某人付了元車費,那么出租車行駛了多遠.
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【題目】(1)如圖1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=45°,為了探究BD,DE,CE之間的等量關系,現將△AEC繞A順時針旋轉90°后成△AFB,連接DF,經探究,你所得到的BD,DE,CE之間的等量關系式是 ;(無須證明)
(2)如圖2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,試仿照(1)的方法,利用圖形的旋轉變換,探究BD,DE,CE之間的等量關系,并證明你的結論.
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【題目】問題情境:如圖①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90,AD⊥BC于點D,可知:∠BAD=∠C(不需要證明);
(1)特例探究:如圖②,∠MAN=90,射線AE在這個角的內部,點B.C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D.證明:△ABD≌△CAF;
(2)歸納證明:如圖③,點B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點E,F在∠MAN內部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求證:△ABE≌△CAF;
(3)拓展應用:如圖④,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.點D在邊BC上,CD=2BD,點E.F在線段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為18,求△ACF與△BDE的面積之和是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=38°,D,E分別為AB,AC上一點,將△BCD,△ADE沿CD,DE翻折,點A,B恰好重合于點P處,則∠ACP=_________.
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